第十六章 二次根式
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．要使代数式
x ＋1
x －1
有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≥－1且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x >－1且x ≠1 D ．x ≥－1 2．下列各等式成立的是( )
A ．(－3)2＝－3 B.2－
2＝－2 C ．(5 3)2＝15 D.（－3）2＝3 3．下列运算正确的是( )
A.2＋3＝ 6
B.3×2＝ 6
C.()3－12
＝3－1 D.52－32＝5－3 4．计算4
12
＋3 1
3
－8的结果是( ) A.3＋ 2 B. 3 C.
3
3
D.3－ 2 5．若a ＝2 2＋3，b ＝2 2－3，则下列等式成立的是( )
A ．ab ＝1
B ．ab ＝－1
C ．a ＝b
D ．a ＝－b
6．已知k ，m ，n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列关于k ，m ，n 的大小关系正确的是( )
A ．k <m ＝n
B ．m ＝n <k
C ．m <n <k
D ．m <k <n
7．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图1所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( )
图1
A ．2a ＋b
B ．－2a ＋b
C ．2a －b
D ．b 8．若y ＝
x －2＋2－x
3
－3，则(x ＋y )x 的值为( )
A ．2
B ．－ 3
C ．7－4 3
D ．7＋4 3 9．一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为( ) A ．10 3＋3 2 B ．5 3＋6 2 C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2 D ．无法确定
10．按图2所示的程序计算，若开始输入的x 值为2，则最后输出的结果是( )
图2
A ．14
B ．16
C ．8＋5 2
D ．14＋ 2 二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
11．若最简二次根式a 与－32a －5能够合并，则a ＝________． 12．若整数x 满足|x |≤3，则使7－x 为整数的x 的值为________． 13．计算：8－2(3－2)0＋⎝⎛⎭⎫
12－1
＝_________.
14．当a ＝15时，代数式2a －3－5a ＋7a ＋3的值为________． 15．计算：(54－1
4
96)÷27＝________．
16．已知x ＝3＋1，y ＝3－1，则x 2＋2xy ＋y 2＝________． 17．若a ＝2＋1，则a 3－5a ＋2019＝________． 三、解答题(本大题共5小题，共49分) 18．(9分)计算： (1)20＋5
5
－13×12； (2)512÷1550×15
3
2
；
(3)(3 2－1)(1＋3 2)－(3 2－1)2.
19．(8分)已知a ＝2－2，b ＝2＋2，求a 3b ＋a 2b 2a 2＋2ab ＋b 2÷a 2－ab
a 2－
b 2的值．
20．(10分)已知x ＝7＋4 3，y ＝－7＋4 3，求下列各式的值． (1)1x ＋1y ；(2)x y ＋y x .
21．(10分)若无理数A 的整数部分是a ，则它的小数部分可表示为A －a .例如：π的整数部分是3，因此其小数部分可表示为π－3.若x 表示47的整数部分，y 表示它的小数部分，求代数式(47＋x )y 的值．
22．(12分)一个三角形三边的长分别为a ，b ，c ，设p ＝1
2(a ＋b ＋c )，根据海伦公式S ＝
p （p －a ）（p －b ）（p －c ）可以求出这个三角形的面积．若a ＝2，b ＝3，c ＝2 2，求： (1)三角形的面积S ； (2)长为c 的边上的高h .
详解详析
1．[解析] A 要使代数式有意义，应满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1≥0，x －1≠0，
解得x ≥－1且x ≠1.
2．[解析] D 选项A 的被开方数为负数，无意义；2－2
＝1
22＝⎝⎛⎭⎫122＝12
；()5 32
＝52×
()32＝25×3＝75；()－32
＝|－3|＝3.
3．[解析] B A 项，2＋3已是最简形式，不能再合并，故错误； B 项，3×2＝6，故正确；
C 项，()3－12
＝(3)2－2×3×1＋1＝3－2 3＋1＝4－2 3，故错误； D 项，52－32＝16＝42＝4，故错误．故选B. 4．[解析] B 4
1
2
＋3 13－8＝4×22＋3×3
3
－2 2＝ 3. 5．[解析] B ab ＝(2 2＋3)(2 2－3)＝(2 2)2－32＝8－9＝－1. 故选B. 6．[解析] D
135＝k 15＝15×9＝3 15，所以k ＝3；450＝15m ＝15×15×2＝
15 2，所以m ＝2；180＝6n ＝36×5＝6 5，所以n ＝5.所以m <k <n .
7．[答案] D
8．[解析] C 由二次根式有意义的条件，得⎩
⎪⎨⎪⎧x －2≥0，
2－x ≥0，解得x ＝2.于是y ＝－ 3.所以(x
＋y )x ＝(2－3)2＝7－4 3.
故选C.
9．[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，5 3＝75，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.
10．[解析] C 将2代入x (x ＋1)运算：2(2＋1)＝2＋ 2.∵2＋2＜15，∴将2＋2再次代入x (x ＋1)运算：(2＋2)(2＋2＋1)＝(2＋2)(3＋2)＝8＋5 2.∵8＋5 2＞15，∴将8＋5 2输出．故选C.
11．[答案] 5
[解析] 由题意，知a 与－3
2a －5的被开方数相同，所以a ＝2a －5，解得a ＝5.
12．[答案] －2或3
[解析] 当x 取－2或3时，原式的值为整数，分别等于3或2. 13．[答案] 2＋2
[解析] 先把零指数幂和负整数指数幂按公式a 0＝1(a ≠0)，a －
p ＝1a p (a ≠0)化简，8－2(3
－
2)0＋
⎝⎛⎭
⎫12－1
＝2 2－2＋2＝2＋2. 14．[答案] 4 3
[解析] 将a ＝15代入代数式得27－75＋108，化简结果为4 3. 15．[答案]
2 2
3
[解析] 原式＝(3 6－14×4 6)÷3 3＝2 6÷3 3＝2 2
3.
16．[答案] 12
[解析] 由x ＝3＋1，y ＝3－1，得x ＋y ＝2 3，∴x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y )2＝(2 3)2＝4×3＝12.
17．[答案] 2021
[解析] ∵a 2＝(2＋1)2＝3＋2 2，∴原式＝a (a 2－5)＋2019＝(2＋1)(3＋2 2－5)＋2019＝2(2＋1)(2－1)＋2019＝2＋2019＝2021.
18．解：(1)原式＝2 5＋55－3
3×2 3
＝3－2 ＝1.
(2)原式＝⎝⎛⎭⎫5×5×1
5 12×150×32
＝5 36100
＝3.
(3)方法一：原式＝(3 2)2－12－[(3 2)2－2×3 2＋12] ＝(3 2)2－1－(3 2)2＋6 2－1 ＝6 2－2.
方法二：原式＝(3 2－1)[(1＋3 2)－(3 2－1)] ＝(3 2－1)×2 ＝6 2－2.
19．解：a 3b ＋a 2b 2a 2＋2ab ＋b 2÷a 2－ab a 2－b 2＝a 2b （a ＋b ）（a ＋b ）2·（a ＋b ）（a －b ）
a （a －
b ）＝ab ，
当a ＝2－2，b ＝2＋2时， 原式＝(2－2)(2＋2)＝2.
20．解：∵x ＝7＋4 3，y ＝－7＋4 3， ∴x ＋y ＝(7＋4 3)＋(－7＋4 3) ＝7＋4 3－7＋4 3＝8 3， xy ＝(7＋4 3)(－7＋4 3) ＝(4 3)2－72＝48－49＝－1. (1)1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝8 3
－1＝－8 3. (2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（8 3）2－2×（－1）－1
＝－194.
21．[解析] 解决该问题的关键在于确定出47的整数部分，然后再表示出它的小数部分，最后代入代数式求值．
解：∵6＜47＜7， ∴47的整数部分为6， 即x ＝6，
则47的小数部分y ＝47－6，
∴(47＋x )y ＝(47＋6)(47－6)＝(47)2－62＝47－36＝11. 22．解：(1)p ＝12(2＋3＋2 2)＝3
2(2＋1)，
p －a ＝3＋22，p －b ＝3
2(2－1)，p －c ＝3－22，
S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝3
2（2＋1）×3＋22×32（2－1）×3－22＝34
7.
(2)∵S ＝12ch ，∴h ＝2S c ＝32 7÷2 2＝3
8
14. 。