u B1 ( x ) = (1/ 2) × 0.2 V=0.1V。又如，利用肉眼观察远处物体成像的方法来粗测透镜的焦距 时，虽然所用钢尺的分度值只有 1mm，但此时测量不确定度 u B1 ( x ) 可取数毫米，甚至更大。
仪器不确定度 u B 2 ( x ) 是由仪器本身的特性所决定的，它定义为：
u B 2 (x ) =
对乘除法： y = x1 ⋅ x2 ，或 y =
(2-2-6)
x1 ，则 x2
2 2 2
⎡ u (x1 ) ⎤ ⎡ u (x2 )⎤ ⎡ u ( y )⎤ ⎢ y ⎥ =⎢ x ⎥ +⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
对乘方（或开方） ： y = x ，则
n
(2-2-7)
⎡ u ( y )⎤ ⎡ u (x )⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢n ⋅ x ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u ( m) = ⎡ ⎣uB1 ( m ) ⎤ ⎦ +⎡ ⎣u B 2 ( m ) ⎤ ⎦ =
2 2
( 0.02 )
2
+ 0.01
(
3 g = 0.02g
)
2
（2）大圆柱体 高度 H = ( H1 + H 2 + H 3 ) 3 = (5.026 + 5.029 + 5.007) 3 = 5.021mm
3 。有些仪器说明书没有直接给出其不确定度限值，但给出了仪器的准确度等 级， 则其不确定度限值 a 需经计算才能得到。 如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值
乘以等级，例如满量程为 10V 的指针式电压表，其等级为 1 级，则其不确定度限值
u B 2 (x ) = a
a = 10V × 1% = 0.1 V。
（3）小圆柱体 直径 d =
( 0.01)
2
+ 0.02
(
3
)
2
= 0.02mm
1 3 ∑ di = ( d1 + d 2 + d3 ) 3 = (8.008 + 8.005 + 8.017 ) 3 = 8.010mm 3 i =1
§2—2 实验不确定度的评定
17
uA ( d ) =
∑(d
i =1
t0.683
2)
B 类不确定度 u B
定度 u B 2 ( x ) 两部分组成。
若对某物理量 x 进行单次测量，那么 B 类不确定度由测量不确定度 u B1 ( x ) 和仪器不确 测量不确定度 u B1 ( x ) 是由估读引起的，通常取仪器分度值 d 的 1/10 或 1/5，有时也取
1/2，视具体情况而定；特殊情况下，可取 uB1 ( x ) = d ，甚至更大。例如用分度值为 1mm 的
a c
(2-2-2)
其中 a 是仪器说明书上所标明的“最大误差”或“不确定度限值” ， c 是一个与仪器不确定
14
大学物理实验
度 u B 2 ( x ) 的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子” 。仪器不确定度 u B 2 ( x ) 的概率分布 通常有正态分布、均匀分布、三角形分布以及反正弦分布、两点分布等。对于正态分布、均 匀分布和三角形分布，置信因子 c 分别取 3、 3 和 6 。如果仪器说明书上只给出不确定 度限值(即最大误差)，却没有关于不确定度概率分布的信息，则一般可用均匀分布处理，即
⎧ H1 = 5.026mm ⎪ ⎨ H 2 = 5.029mm ； ⎪ H = 5.007mm ⎩ 3
用游标卡尺测量大圆柱体的直径三次， 分别为：
16大Βιβλιοθήκη 物理实验⎧ D1 = 23.92mm ⎪ ⎨ D2 = 23.90mm ⎪ D = 23.88mm ⎩ 3
；
用游标卡尺测量小圆柱体的高度一次， h = 30.12mm ；
§2—2 实验不确定度的评定
1. 不确定度 如上所述， 利用误差来表征测量结果的可信程度， 是利用了测量值和真值之间的偏差程 度，但由于客观实际的局限性（如测量仪器和测量者的问题） ，真值一般是不知道的。为了 更确切地表征实验测量数据，我们引入了不确定度作为实验测量结果接近真实情况的量度。 不确定度表征了测量结果的分散性和测量值可信赖的程度， 它是被测量的真值在某个量值范 围内的一个评定。在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。反之， 不确定度愈大，测量的质量愈低，其可靠性也愈差。 不确定度必须正确评价。 若评价得过大， 则在实验中会因怀疑结果的正确性而不能果断 地做出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而造成浪费；若评价得过小，在实验中可 能会得出错误的结论，在生产中则产品质量不能保证，造成危害。 必须指出，不确定度概念的引入并不意味着排除使用误差的概念。实际上，误差仍可用 于定性地描述实验的结果。误差仍可按其性质分为随机误差、系统误差等，仍可描述误差分 布的数据特征， 表征与一定置信概率相联系的误差分布范围等。 不确定度则用于给出具体数 值或进行定量运算、分析的场合，表示由于测量误差的存在对被测量值不能确定的程度，反 映了可能存在的误差分布范围， 表征被测量的真值所处的量值范围的评定， 所以不确定度能 更准确地用于测量结果的表示。 2. 标准不确定度 不确定度的评定在实际测量中是十分重要的， 但以往各国对不确定度的表示和评定没有 统一的规定，且不确定度的应用情况也各不相同。1992 年，国际标准化组织（1SO）发布 了具有指导性的文件《测量不确定度表示指南》 （以下简称《指南》 ） ，为世界各国不确定度 的统一奠定了基础。1993 年 ISO 和国际理论与应用物理联合会（1UPAP）等七个国际权威 组织又联合发布了 《指南》 的修订版。 从而使物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。 该《指南》对实验的测量不确定度有严格而详尽的论述，但作为大学物理实验教学，这 里只介绍标准不确定度。所谓“标准不确定度”是指以“标准偏差”表示的测量不确定度估 计值，简称不确定度，本书将其记为 u 。 标准不确定度一般可分为以下三类： ① A 类不确定度：在同一条件下多次测量，即由一系列观测结果的统计分析评定的不 确定度，简称 A 类不确定度，常记为 u A 。 ② B 类不确定度：由非统计分析评定的不确定度，简称 B 类不确定度，常记为 u B 。 ③ 合成不确定度： 某测量值的 A 类与 B 类不确定度按一定规则算出的测量结果的标准 不确定度，简称合成不确定度。
2 2 2 uB 1 ( x1 ) + u B1 ( x 2 ) + u B 2 ( x ) 。这是
y = f ( x1 , x 2 , x3 ......, x N ) ，且各 xi 相互独立，则测量结果 y 的标准不确定度 u ( y ) 的传递公
式为
2
在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量量通过计算而得的。若
4. 标准不确定度的合成与传递 由正态分布、 均匀分布和三角形分布所求得的标准不确定度可以按以下规则进行合成与 传递。 1) ① 合成 在相同条件下，对 x 进行多次测量时，待测量 x 的标准不确定度 u ( x ) 由 A 类不确
定度 u A ( x ) 和仪器不确定度 u B 2 ( x ) 合成而得。即
2 2 (x ) + u B u (x ) = u A 2 (x )
(2-2-3)
其中， u B 2 ( x ) 的值由(7)式根据相应的概率分布进行估算。
u B1 ( x ) 和仪器不确定度 u B 2 (x ) 合成而得。即
②
对待测量 x 进行单次测量时，待测量 x 的标准不确定度 u ( x ) 由测量不确定度
§2—2 实验不确定度的评定
13
下面分别讨论如何进行不确定度的评定、合成、传递及表示。 3. 标准不确定度的评定 1) A 类不确定度 u A
在相同的条件下，对某物理量 x 作 n 次的独立测量，得到的 x 值为 x1 , x 2 , x3 ,..., x n ，平 ，其不确定度为 均值为 x （应为测量结果的最佳值）
3
i
−d )
2
[3 × (3 − 1)]
2 2 2 = ⎡( 8.008 − 8.010 ) + ( 8.005 − 8.010 ) + ( 8.017 − 8.010 ) ⎤ (3 × 2) = 0.004mm ⎣ ⎦
⎤ ⎣u B 2 ( d ) ⎤ u (d ) = ⎡ ⎦ = ⎣u A ( d ) ⎦ + ⎡
2 2
( 0.007 )
2
+ 0.005
(
3
)
2
= 0.008mm
直径 D =
1 3 ∑ Di = ( D1 + D2 + D3 ) 3 = 23.90mm 3 i =1
uA ( D ) =
∑( D − D)
i =1 i
2
3
2
3 ( 3 − 1) = 0.01mm
2
⎡u A ( D ) ⎤ + ⎡ u B 2 ( D ) ⎤ = u ( D) = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧d1 = 8.008mm ⎪ 用螺旋测微器测量小圆柱体的直径三次，分别为： ⎨d 2 = 8.005mm ； ⎪d = 8.017mm ⎩ 3
游标卡尺的分度值为 0.02mm ，不确定度限值为 0.02mm 。螺旋测微器的分度值为 0.01mm，不确定度限值为 0.005mm。试根据上述数据，计算该物体的密度及其不确定度。 解： （1）物体的质量 m=30.38g
u A (x ) = t ⋅
∑ (x
i =1
n
i
− x)
2
n(n − 1)
(2-2-1)
值落在 x ± u A ( x ) 范围内的概率。) t 因子的数值可以根据测量次数和置信概率查表得到，
式中的 t 就称为“ t 因子” ，它与测量次数和“置信概率”有关。(所谓“置信概率”是指真