联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：
dIλ = -kλρIλds + jλρds
进一步为方便起见，定义源函数Jλ如下： Jλ ≡ jλ/kλ
这样一来，源函数则具有辐射强度的单位。因此 有：
dIλ = -kλρIλds + kλJλρds 即：
dI I J kds
这就是不加任何座标系的普遍传输方程，它是讨论任何 辐射传输过程的基础。
I0e / 0 P(, 0) 4
对上式中入射方向Ω0 在4π空间积分，并考虑只有 一个入射方向，则上式中的强度变成通量密度， 即有：
F0e / 0 P(, 0) 4
上式就是单次散射产生的源函数。
对于多次散射，我们假设位于τ处、传播方向为Ω’ 的辐射强度为I (τ, Ω’)，则它散射到方向Ω的辐射 强度为：
植被冠层 z
其中 uL为叶面积密度。
传输方程
在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的相互作用而减弱。 如果辐射强度Iλ，在它传播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ， 则有：
dIλ = -kλρIλds
式中ρ是物质密度，kλ表 示对辐射波长λ的质量消 光截面。辐射强度的减弱 是由物质中的吸收以及物 I(0) 质对辐射的散射所引起。
dI I d
上式的解为：
I I0 exp( d(z) / ) I0 exp[( () (0)) / ] 0
定义τ0= τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0， 因此有：
I
I e0/ 0
请注意指数形式在辐射传输中的作用。
总结
两个概念：光学厚度、平面平行介质 一组不同表达形式的传输方程：
光学厚度 (optical thickness, optical depth)
定义点s1和s2之间的介质的光学厚度为：
s2
s1
kds' kds'
s1
s2
并有：
dτλ(s) = -kλρds 因此传输方程可以写为：
dI I J d
在实际应用中，τ的定义使τ永远是正数。 而且I与τ的关系一般为exp(-τ0)。
I I+dI
I(s1)
0
ds
S1
另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质 的发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其 它方向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我 们如下定义源函数系数，使由于发射和多次散射 造成的强度增大为：
dIλ = jλρds 式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理 意义。
假定介质消光截面均一不变，即kλ不依赖于距离s， 并定义路径长度：
s1
u 0 ds
则此时出射强度为：
I(s1) I(0)eku
这就是著名的比尔定律，或称布格定律，也可称朗伯定 律。它叙述了忽略多次散射和发射影响时，通过均匀介 质传播的辐射强度按简单的指数函数减弱，该指数函数 的自变量是质量吸收截面和路径长度的乘积。由于该定 律不涉及方向关系，所以它不仅适用于强度量，而且也 适用于通量密度。
dI I J kds dI I J
d dI I J
d 传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
源函数中散射的表达
源函数中散射的表达
对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初 始值为I0，传播方向为Ω0，则它到达τ处的辐 射强度为：
I e/0 0
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
τ
在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度 即为：
辐射传输方程的假设条件
平面平行 (plane parallel)介质
介质可以分成若干或无穷多相互平行的层，各 层内部（对辐射影响）的性质一样，各层之间 的性质不同。
辐射传输方程的几个主要参数
消光截面、消光效率因子、消光系数
在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一 术语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光 束中所移除的能量大小。 单位时间内粒子所消光的能量与入射光强之比称为 粒子的消光截面。包括散射截面和吸收截面。 上述三种截面与粒子的最大横截面积之比分别被称 为消光效率因子。
黑体辐射定律
• 普朗克定律 • 斯蒂芬—波尔兹曼定律 • 维恩位移定律 • 基尔霍夫定律
遥感物理
第一节 基本概念 第二节 辐射传输 (radiance transfer) √ §1.2.1 电磁辐射传输方程 §1.2.2 源函数中散射的表达
电磁波与介质的相互作用的表达形式
Maxwell方程组与辐射传输方程
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。一般而言，波 长较长的电磁波波动性较为突出。在微波遥感领域，更常 看到用麦克斯韦方程组解释电磁波与介质的相互作用。 短波部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地表现 为粒子性。在光学和热红外领域，为方便和直观起见，则 常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互作用。 麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相互转 换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解方法有所 区别，在不同的领域，有各自的优势。
单位体积内所有粒子的消光截面称为消光系数。它 具有长度倒数（厘米-1）的单位。
对于平面平行大气，τ 的定义为由大气上界向
下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：
(z) z kdz'
对于水平均一植被， τ 的定义
为由z处向上测量到冠层表面 的垂直光学厚度：
z
(z) uL(z' )dz' 0
大气
z
0
平面平行 (plane parallel)介质的辐射传输方程
θ zห้องสมุดไป่ตู้
θ为辐射方向与分层方向法 线的夹角。
对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：
cos dI I J kdz
或
dI I J
d
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射 和发射，则传输方程为：
I(, ' ) P(, ' ) 4
则多次散射产生的源函数为来自所有方向、并经 散射，到方向Ω的辐射总和。即上式对方向Ω’在 4π空间的积分，即：
求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。
比尔-布格-朗伯 (Beer-Bouguer-Lambert)定律
当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射 传输方程可以简化为：
dI I kds
如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处， 其射出强度可以通过对上式的积分获得：
s1
I(s1) I(0) exp( kds) 0