入射为1，散射后各个方向的总和（积分）即为ω
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源函数中散射的表达
对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初 始值为I0，传播方向为Ω0，则它到达τ处的辐 射强度为：
I e/0 0
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
τ
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在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度 即为：
I0e / 0 P(, 0) 4
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参考式： d[I(, )e / ] 1 J(, )e/
d
对上式从0 到 τ0 积分：
0
I(, )e/
0 1 J(, )e/ d
0
0
即：
I(0, )e0 / I(0, ) 1 0 J(, )e/ d
0
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整理得I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系：
I(0)
I I+dI
I(s1)
0
ds
S1
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另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质 的发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其 它方向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我 们如下定义源函数系数，使由于发射和多次散射 造成的强度增大为：
dIλ = jλρds 式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理 意义。 联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e(0) / d
0
请注意，此时μ<0，若将其变为正数，则上式可变为：
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e(0) / d
0
对上式的解释：
位于τ= τ 0 处的辐射强度由两部分组成： τ= 0 处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ= τ 0处的辐射 强度的总和。
cos coscos'sin sin 'cos(') '(1 2 )1/2 (1 '2 )1/2 cos(')
请注意P与两个方向的天顶角，以及相对方位角有关。
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单次散射反射率（single scattering albedo）
实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸 收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。 单次散射反射率 ω 定义为辐射发生每一次消 光（或简称散射）过程中，遭受散射的百分 比。
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对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射 和发射，则传输方程为：
dI I d
上式的解为：
I I0 exp( d(z) / ) I0 exp[( () (0)) / ] 0
定义τ0= τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0， 因此有：
I
I e0/ 0
请注意指数形式在辐射传输中的作用。
麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相 互转换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解 方法有所区别，在不同的领域，有各自的优势。
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消光截面
在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一术 语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光束中 所移除的能量大小。当对粒子而言时，截面的单位是 面积（厘米2），因此，以面积计的消光截面等于散射 截面与吸收截面之和。但当对单位质量而言时，截面 的单位是每单位质量的面积（厘米2·克-1），这时，在 传输研究中用术语质量消光截面，因而，质量消光截 面等于质量散射截面与质量吸收截面之和。此外，当 消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消光截面 乘以密度（克·厘米-3）时，该量称为“消光系数”， 它具有长度倒数（厘米-1）的单位。
求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。
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比尔-布格-朗伯 (Beer-Bouguer-Lambert)定律
当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射 传输方程可以简化为：
dI I kds
如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处， 其射出强度可以通过对上式的积分获得：
s1
I(s1) I(0) exp( kds) 0
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当电磁波由方向Ω0前进时，它被介质散射到方 向Ω的散射过程包括单（一）次散射和多次散 射过程。
多次散射是为了区别单次散射而定义的，凡是 辐射被介质散射超过 1 次，均称为多次散射。
区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐 射传输方程。
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
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散射相函数（scattering phase function）
介质完全均一（ρ也不依赖s），出射强度？
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光学厚度 (optical thickness, optical depth)
定Hale Waihona Puke 点s1和s2之间的介质的光学厚度为：
s2
s1
kds' kds'
s1
s2
并有：
dτλ(s) = -kλρds (对大气如此) 因此传输方程可以写为：
dI I J d
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源函数只考虑介质发射情况下的解
当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程 相对考虑散射时要简单得多，因为它不需要 考虑各方向散射辐射因素，而且J 与I 无关。 此时的辐射传输方程可以写为：
dI(, ) I(, ) B[T()] d
B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关， 即各向均一。
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总结
两个概念：光学厚度、平面平行介质
一组不同表达形式的传输方程：
dI I J kds
dI I J d
dI I J d
对大气 对大气
传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
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源函数中散射的表达
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散射
电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波 有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波 强度发生变化，可能减弱，也可能增强。
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传输方程
在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的 相互作用而减弱。如果辐射强度Iλ，在它传 播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ，则有：
dIλ = -kλρIλds 式中ρ是物质密度，kλ表示对辐射波长λ的质 量消光截面。辐射强度的减弱是由物质中的 吸收以及物质对辐射的散射所引起。
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dI(, ) I(, ) J(, ) d
将方程两边同时乘以 e/，则得到
d[I(, )e/ ] 1 J(, )e/
d
上式乘以 dτ 后，两边对 τ 积分，即可求得带有源 函数的传输方程的解。
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根据上式，请给出τ=0处的辐射强度 I(0, Ω)与τ= τ 0处的辐射强度I(τ 0, Ω)之间的关系表达式，并 简要解释其物理含义。
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思考：
对于在4π空间内各向均一的散射（散射辐射强 度不随散射方向变化），散射相函数的表达式是 什么？ 对于散射光只在入射方向Ω’存在，其它方向均 为0的情况下，散射相函数的表达式是什么？
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通常散射相函数 P (Ω, Ω’) 只与方向Ω’和方向Ω之间 的夹角Θ有关，可以写为 P (cos Θ)。散射角Θ定义 为入射光束和散射光束之 间的夹角。 散射角的余弦可以表示为：
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对于平面平行大气，τ 的定义为由大气上界向
下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：
(z) z kdz'
对于水平均一植被， τ 的定义
为由z处向上测量到冠层表面 的垂直光学厚度：
z
(z) uL(z' )dz' 0
大气
z
0
植被冠层 z
其中 uL为叶面积密度。
在植被中，dτ与dz关系如何？ 以平面平行大气为例，比尔定律具体表达式？
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又，源函数中的发射的表达可以写为：
J(τ, Ω) = B[T(τ)]
其中B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即 各向均一。
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回忆上一小节中提到的平面平行介质中的传输方 程为：
dI I J d
因此，考虑散射与发射源函数后，辐射传输方程 可以展开为：
θ
θ为辐射方向与分层方向法
线的夹角。
z
dI I J
kds
上述传输方程用z、θ替换s后，具体表达式？
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对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：
cos dI I J kdz
或 dI I J d
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度(此时已是垂直计量) 。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
d
4
I(, ' )P(, ' )d' B[T()]
4 4
通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值 解法或简化求解。
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总结
两个概念：散射相函数、单次散射反射率 考虑散射与发射源函数的传输方程：
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e/ d
0
对上式的解释：
位于τ=0处的辐射强度由两部分组成： τ= τ 0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强 度的总和。
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I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系也可以表述为：
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第三章 辐射传输方程
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Maxwell方程组与辐射传输方程
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。一般而言， 波长较长的电磁波波动性较为突出。所以在微波遥感 领域，可以看到用麦克斯韦方程组解释电磁波与介质 的相互作用。
短波部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地 表现为粒子性。在光学和热红外领域，为方便和直观 起见，则常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互 作用。