C p
DT Dt
div(gradT
qr ) qo
T
DP Dt
左端为瞬态能量的储存，称非稳态项
右端第一项为导热、辐射项
右端第二项为源项
右端第三项为粘性耗散项
2021/5/4 右端第四项为压缩膨胀式压力作的功10
辐射传递方程的积分形式 RTE积分法
di
dk
i
(k
,
)
I
(k
,
)
用expkλ乘全式，并从0到kλ(S)积分得
a
dv
, T, Peb , T i d
2021/5/4
18
辐射平衡
qr 0 或
0
a dv
, T, Peb , Td
0 a
dv
, T, Pi d
2021/5/4
19
普朗克平均吸收系数
aP T, P
0
a
,
T,
Peb
,
T
d
0
eb
,
T
d
0
a
,
T,
Peb
,
T
d
T 4
aP是一个用黑体发射光谱度量的光谱吸 收系数的平均值。在考虑容积发射和一
些有限的辐射传递情况下，都证明它是
很有用的。 2021/5/4
20
包括散射的辐射流散度
, i
1 4
4 , , i d
i
1 4
i i 4 , i di
qr
40
a eb a s i
s
4
i
4
i
,
i
,
i
di
d
对各向同性散射，,,i 1，因而， ,i 1
2021/5/4
Hale Waihona Puke ❖辐射能量守恒方程描写的是辐射场中某 一微元体的辐射能量平衡。
❖辐射传递方程描写的是ω（S）方向微 元段dS中的辐射能量守恒方程。所以寻 求空间微元体中的辐射能量守恒方程， 只要将微元段dS辐射传递方程中各项对 全空间积分。
❖全空间：4π，ω
2021/5/4
7
di (s)d
4 dS
a (s)i (s)d s (s)i (s)d a (s)ib (s)d
第十三章 辐射传递方程和能量方程
Transfer equation: RTE
2021/5/4
1
辐射传递方程
沿路程S影响辐射强度大小的量：
❖吸收引起的衰减 ❖发射引起的增强 ❖散射引起的减弱 ❖射入散射引起的增强
2021/5/4
2
以路径S为变量表示的辐射传递方程
di s
dS
a
(s)i
(s)
a
(s)ib
exp
k
di dk
i k exp
k
d dk
i k exp
k
I k , exp
k
i
k
exp k i
0
I k
0
k
*
,
exp
k*dk*
或 i k i 0exp k
I k
0
k
*
,
exp
k
k
*
dk*
2021/5/4
11
例题1
一 个 黑 体 微 元 表 面 dA 距一气 体微元 dV为10cm， 气体微元是气体容积V的一
3
albedo
反照率
s a s
s
K
1
a
a
s
a K
1 仅散射 0 仅吸收
2021/5/4
4
以光学厚度为变量表示的辐射传递方程
k (S)
s 0
K
(S
*
)dS
*
dk (S) K (S)dS
di
dk
i
(k
)
(1
)ib
(k
)
4
4
i 0 i (k ,i ) (,i )di
di
部分，气体容积是等温的， 并与dA的温度T相同。如果 气体在波长1μm的吸收系数 aλ是0.1cm-1，且无散射，试 求沿路程S从dA到达dV的λ= 1μm的光谱辐射强度。
2021/5/4
12
例题1解
解：因为微元表面dA黑体，温度T，所以S=0 处的辐射强度是iλ(0)=iλb(0,T)。
因为气体是等温的，所以气体中发射的黑体 辐射强度为iλb(kλ)=iλb(T)。
1
将 1m代入上式就得到问题的解。
该题说明，与气体等温的黑体元表面沿等温路径S 到达dV的光谱辐射强度等于壁面发射的黑体强度， 并且与a 或S无关。气体对壁面辐射强度的衰减将 准确地由dA至dV路程上气体的发射所补偿。
2021/5/4
14
例题2
一个吸收发射灰气体层， 吸收系数 a=1.6m-1，与黑体 壁面相邻，如图所示。因为 内热源的作用，气体介质层 的温度分布呈抛物线分布， 由x=0壁面处的650K变化到
x=D处的425K。求在x=D 处的垂直于壁面方向的 总辐射强度i(D)。
2021/5/4
15
例题2解
解：抛物线型的温度分布方程为
T(x) Tw - (Tw - 425)x/D2
在吸收-发射性介质中，RTE积分法方程为
i (k ,) i (0, )e-k
k 0
ib
(k *
)e-k
-k
*
dk*
k s
s
0 a
s* ds*
2021/5/4
16
例题2解
所以,代入有
i(D) Tw4 e-aD aD T4 x e-aD-xadx
0
将温度分布和其它已知值代入,数值积分得到
iD 2509.5 w/ m2 sr
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17
在只有吸收（无散射）时的辐 射流散度
qr
4
0
dk
i
(k
,
)
I
(k
,
)
I (k , ) 为源函数
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5
源函数定义
I
(k
,)
(1
)ib
(k
)
4
4
i 0 i (k ,i ) (,i )di
这是由于发射和射入的散射而引起的光 程上的辐射强度变化的源项
2021/5/4
6
辐射能量方程
❖辐射的能量方程有两个:辐射传递方程 和辐射能量守恒方程。
qr
4 0
a
eb
i
d
21
平面层的传递方程和辐射流
i
k
,
i 0,exp
k
I k
0
k
*
,
exp
k
k
*
dk*
i
k,
i
k D ,
exp
k D k
I k D
k
k
*
,
exp
k
*
k
dk*
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22
思考题1
一个等温灰气体层,
温 度 为 1000K, 厚 度 为 1
与σsλ=0一起代入积分形式的传递方程得：
i k ib 0,T exp k
i k
0 b
T
exp
k k*
dk*
2021/5/4
ib
T
exp
k
ib T
exp
k
k 0
exp
k*
dk*
ib T
13
例题1解
对折射率为1的气体介质，有
ib k
ib T
5
2C1 eC2 / T
4
4
4
s (
4
s)
4
4
i
(
s,
i
)
(
,i
)di
.d
2021/5/4
8
上式左端
di (s)d
4 dS
4
i x
dx dS
i y
dy dS
i z
dz dS
d
4
i x
c os
i y
cos
i z
c os
d
q,x q,y q,z x y z
2021/5/4 div q • q
9
伴随导热、对流能量传递时的 能量方程
(s)
s
(s)i
(s)
s (s)
4
4
i 0 i (s,i ) (,i )di
di s ds
K
(s)i
(s)
a
(s)ib
(s)
s (s)
4
4
i 0 i (s,i ) (s,i )di
di ds
K
(s)i
()
a
(s)ib
()
s (s) 4
4
i 0 i (, i ) (, i )di
2021/5/4
(1)在右侧x=D处发射的法向辐射 强度;为了达到相同的法向辐射强 度,同样材料的薄板温度需要多少?
2021/5/4
(2) 如 果 将 左 图 的 温 度 型 颠 倒 , 则 右侧发射的法向辐射强度为多少?
25
思考题2答案
2021/5/4
26
米，气体层的边界是透
明的.在左侧边界有法向
辐射入射,在右侧边界没
有任何入射辐射,如图所
示。求图示三种情况下
右侧边界的法向出射辐
2021/5/4
射强度. 23
思考题1答案