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2019上海数学初三二模第18题汇编

第18题专题题型一:图形等等翻折1.如图4,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (23,0),B (0,6),M (0,2).点Q 在直线AB 上,把△BMQ 沿着直线MQ 翻折,点B 落在点P 处,联结PQ .如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°,那么点P 的坐标是 ▲ .参考答案:(23,4)或(0,-2)或(23- ,0).解析:(1)如图一,∵23OA =,6OB =,∴∠OBA =30° ∵ 翻折 ∴∠P =∠OBA =30°,4MP MB ==延长PQ 交OB 与H ,∵∠PQA =60°,∠BAO =60°,∴∠PQA =∠BAO ∴PH ∥OA ,∴∠PHO =∠AOB =90° ,又∠OBA =30°, ∴12,232MH MP PH === ∴ P (23,4) (2)如图二,∵ 翻折,∴∠BQM =∠PQM ∵∠PQA =60°,∴∠BQM =∠PQM =60°又∵∠OBA =30°,∴∠BMQ =90°,所以翻折后P 落在y 轴上且MP =BM =4 ∴P (0,-2)(3)如图三,∵∠P AB =60°,∴ BQM =30°,又易证∠BAM =∠OAM =30°,所以Q 点与A 点重合,且P 落在x 轴上,P A =BA =43,∴ P (23-,0).y 图4ABOM x﹒图一 图二 图三2.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,点E 在边AD 上且AE =4,点F 是边BC 上的一个动点,将四边形ABFE 沿EF 翻折,A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上,A 1B 1与边AD 交于点G ,如果DG =3,那么BF 的长为 ▲ .参考答案:658-解析:易证1EGA CGD △∽△,∴11AG A E GD DC=,∴12A E =,∴ EG =25 ∴BC =AD =725+,设BF =x ,则1,725FB x FC x ==+- 易证1FCB CGD △∽△,∴1FB FCDC GC=,GC =35,∴1658FB =-,即658FB =-PQ ABO MP(Q )ABOMH PQMOB AC第18题图A BDE3.如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,25BC = ,D 为边AC 上一点(点D 与点A 、C 不重合).将△ABC 沿直线BD 翻折,使点A 落在点E 处,联结CE .如果CE // AB ,那么AD ︰CD =_____参考答案:5:6解析:过A 作AH ⊥BC ,∵AC =AB ,∴ BH=5,过C 作CF ⊥AB ,5cos 5BF BH ABC BC AB ===∠,∴ BF =2,AF =3,C F=4,∵CE // AB ,∴四边形ABCE 为ABC(第18题图)梯形,又因为翻折,所以AB =BE ,所以BE =AC ,所以梯形ABCE 为等腰梯形,所以OA =OB ,OE =OC ,过O 作OP ⊥AB ,所以AP =52,因为OP ∥CF ,所以AO AP AC AF =,所以AO =256,OC =OE =56,因为CE // AB ,∴ EC COAB AO=,∴ EC =1,因为翻折,所以DAB DEB =∠∠,又因为CE // AB ,所以DAB ECD =∠∠,所以DEB ECD =∠∠,又∠EDC =∠EDC ,所以△DEO ∽△DCO ,所以56ED EO DC EC ==,又ED =AD ,所以AD :DC =5:6题型二:图形等等旋转4.如图4,在ABC △中,已知AB AC =,30BAC ∠=︒,将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒,记点C 的对应点为点D ,AD 、BC 的延长线相交于点E .如果线段DE那么边AB 的长为 .解析:如图,过点D 作DH ⊥CE ,∵AB AC =,30BAC ∠=︒∴ ∠ABC =∠ACB =75°,∵ 旋转,∴ ∠CAD =30°,∠ACD =∠ADC =75°∴∠DCH =30°,∠DEC =45°,∵DE,∴ DH =HE =1,∴ CD =2,CH∴ CE,∵ ∠E =∠E ,∠DCH =∠CAD =30°,∴ △CDE ∽△ACEABCFP∴CD DEAC CE=,∴ AC =62+,∴ AB =62+5.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =6,cosB =23,先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°,然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A'CB'(点A'、C 、B'的对应点分别是点A 、C 、B ),联结A'A 、B'B ,如果△AA'B 和△AA'B'相似,那么A C '的长是 ▲ .参考答案:355-解析:∵∠ACB =90°,AB =6,cosB =23,∴ BC =4,AC =25,∵因为旋转,∴ 1=ABC B ∠∠又∵△AA'B 和△AA'B'相似,∴11BAA CAA =∠∠,过B 作BD ∥AC ,延长1AA 交BD 于点D ,则∠D =1CAA ∠,∴∠D =1BAA ∠,∴ BD =AB =6,因为BD ∥AC ,所以11BA BD AC A C= 即64=25ACAC-,∴AC =355- ACB6.如图3,在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,将ABC ∆绕着点C 旋转,点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ,若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上,则'AA 的长等于 ▲ .参考答案:145解析:过A 作AE ⊥BC ,所以BE =4,AE =3,因为旋转,所以'8,'5B C BC AC A C ===='B B=∠∠,过C作'CH AA ⊥,3sin 'sin '5CH B B CB ===,所以245CH =,所以2275AH AC CH =-=,所以'145AA =BCDB 1A 1A图3ABCH A'B'A BCE7.如图3,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3sin 5B =,将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转,得到11A B C ∆ ,点A 、B 分别与点1A 、1B 对应,边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ,如果点E 是边11A B 的中点,那么1BDB C= ▲ . 【参考答案】35.因为在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3sin 5B =, 所以设3AC x =,则5AB x =;4BC x =因为11A B C ∆由将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转得到,所以1190ACB ∠=︒,1B B ∠=∠又因为点E 是边11A B 的中点,所以1111115222A EB E CE A B AB x ===== 所以11CEB B ∠=∠;所以1CEB B ∠=∠;所以1//BD B C ;所以11BDB B ∠=∠;所以1BDB B ∠=∠所以542DE BE x x ==-所以15432552x xBD BEB C CEx -===.8.如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC =8,BC =6.将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ,点A 的对应点D 落在射线BC 上.直线AC 交DE 于点F ,那么CF 的长为________.【参考答案】3.根据题意得:22228610BD ABAC BC ;1064DC DB BC旋转,所以=A D ,又 90ACB DCFACB ∽DCF43DC AC CFBC, 3CF .9.如图5,矩形ABCD ,AD =a ,将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转,得到矩形EBGF ,顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应(点D 与点F 不重合).如果点D 、E 、F 在同一条直线上,那么线段DF 的长是 ▲ .(用含a 的代数式表示)【参考答案】2a .根据题意,由旋转得到90BEF DAB矩形对角线BDBF所以BDF 是一个等腰三角形 所以DE EF a (等腰三角形三线合一)所以2DF a .10.如图7,AD 是△的中线,点E 在边AB 上,且DE ⊥AD ,将△BDE 绕着点D 旋转,使得点B 与点C 重合,点E 落在点F 处,联结AF 交BC 于点G ,如果52AE BE =,那么GFAB的值等于 ▲ .【参考答案】1063. 联结AF ;因为CFD △由BDE ∆绕点D 旋转得到 所以BDE BDE ∆∆≌所以DE FD =;B DCF ∠=∠;27CF AB = 所以//AB CF 所以27FG AG =;所以29FG AF =在ADE ∆和ADF ∆中ABC E图7G EDB90AD AD ADE ADF DE FD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩;得到ADE ADF ∆∆≌ 所以AE AF =设5AE x =;则5AF x =;7AB x =;109xFG =所以1063FG AB =.题型三:其他题型:11.我们把满足某种条件的所有点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =12,动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1个单位/秒的速度向点C 运动,动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2个单位/秒的速度向点B 运动,P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,在整个运动过程中,线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为 .参考答案:35CBAP Q M 图6解析:当t =0时,M 在AC 中点处,即1M 处,当t=6时,Q 运动到B ,此时P 在线段AC 上,且AP=6,CP=2,M 在BP 中点处,即2M 处,过2M 作2M H AC ⊥,交AC 于H ,则26M H =,HP=1,∴ 1HM =3,∴221221()()35M M M H HM =+=,即轨迹长为3512.如图3,点M 的坐标为)2,3(,点P 从原点O 出发,以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动,同时过点P 的直线l 也随之上下平移,且直线l 与直线x y -=平行,如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上,如果点P 的移动时间为t 秒,那么t 的值可以是 .参考答案:3或2(任意一个都可以)解析:设M 关于直线l 的对称点为点N ,直线l 与x 轴交于点P ,与y 轴交于点F ,易知45?FPO PFO ==∠∠(1)当对称点落在x 轴上时,直线l 垂直平分线段MN ,所以45?MNP PN PM ==∠, ∴45?NMP =∠,∴=90?NPM ∠,∴ P (3,0),∴ OF =OP =3,所以t=3(2)当对称点落在y 轴上时,直线l 垂直平分线段MN ,所以45?,FN=FM MNF =∠∴45?NMF ∠,∴ =90?NFM ∠,∴ F (0,2),所以OF =2,所以t =213.如图,在矩形ABCD 中,过点A 的圆O 交边AB 于点E ,交边AD 于点F ,已知AD =5,AE =2,AF =4.如果以点D 为圆心,r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点,那么r 的取值范围是 ▲ .参考答案:105105r -<<+解析:过O 作OH ⊥AD ,OG ⊥AB ,∴AH =2,AG =1,易知四边形AGOH 为矩形,所以OH =1,所以AO =5,易知HD =3,所以OD =10,连接OD 并延长DO ,交圆O 于点P ,Q ,所以PD=105-,DQ=10+5,所以105105r -<<+ABCDE F (第18题图)Q P OH G BAE F14.定义:如果P是圆O所在平面内的一点,Q是射线OP上一点,且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径,那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点。

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