则 DA DB 当0
……………… ……………
………… ……………
时， y 0 ， y 是 的减函数；当 时， y 0 ， y 是 的增函数. 6 6 4
……………
3 时， ymin 3 1 ，此时 DO tan . …………… 3 6 3 答：当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 km 处时,能使三段木栈道总长度最短. 3
所以 g ( x ) f ( x ) 2 x 为奇函数， 所以 g ( x3 1) g (1 3x 2 ) 0 等价于 g ( x3 1) g (3x 2 1) ， 又 g ( x ) f ( x ) 2 e x ………………
1 2 ≥ 2 2 0 当且仅当 x 0 时，等号成立， ex
所以 2cos( )cos 2sin( )sin 3cos( )cos 3sin( )sin 0 ， 因为 、 的终边不在 y 轴上，所以 cos( ),cos 均不为 0， 所以 5cos( )cos sin( )sin 0 ， 因为所以 tan( ) tan 5 ． ………………12 分 ………………14 分
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Q1 6 2 23 2 4 7 1 2
2018—2019 学年第一学期高三期中调研试 数学参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分) 1. 1,2 7. 2. x R , x 2 2 x 1 0 8. 5 9. 160 10. 3. 1 4. 11. (
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1 1 e x x f ( x) ，此时 f ( x) 为奇函数． ……………… e x e 1 1 （2）令 e x x t （ t ≥ 0 ） ，所以 e 2 x 2 x t 2 2 e e
所以 h(t ) t 2 2t 2 ，对称轴 t ， ①当 ≤ 0 时， h(t ) h(0), ，所求值域为 2, ；
所以，当
18．(本题满分 16 分) 解： （1）函数的定义域为 R ，因为 f ( x ) 为奇函数，由 f ( x) f ( x) 可知， f (0) 0 ， 所以 1 a 0 ，所以 a 1 ； ………………
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当 a 1 时， f ( x ) e x
3 ) ， 6 2
1 7 [ , ] ；所以 sin(2 ) [ ,1] ； 6 2 6 6 6 1 7 所以 f ( ) 的取值范围是 [ , ] ． 2 2
因为 [0, ] ，所以 2
2
（2）由 m / / n ，所以 (2cos 2 3)cos 2sin 2 sin 0 ， 所以 2cos(2 ) 3cos 0 ，
………… ………………
an 1 an q ≥ 2 ，所以数列 {an an 1} 单调递增， an an 1
所以在数列 {an an 1} 中， a2 a1 为最小项， ……………… 由 {an } 为“M 数列”，可知只需 a2 a1 3 ，即 q 1 3 ，所以 q 4 …… 同理，在 {bn bn 1} 中，“ b2 b1 ”为最小项， 因为 {bn } 不是“M 数列”，所以存在 bm bm 1 ≤ 3 ， 又“ b2 b1 ”为最小项，所以 b2 b1 ≤ 3 ， 即 a1 ( q 1) ≤ 4 ，所以 q ≤ 5 …………… 因为 q N * ， 所以 q 5 ， an 5n 1 ． ………………
n 1
………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………7 分 ………………8 分
bn 2(n ≥ 2) ，所以 bn 是等比数列， bn1
．
………………9 分
（2）因为 cn an bn ，所以 cn (2n 1) 2n1 ，
Sn c1 c2 c3 L cn 1 20 3 21 5 22 L (2n 3)2n 2 (2n 1)2n 1 ， 2Sn 1 21 3 22 5 23 L (2n 3)2n 1 (2n 1)2n ，
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16．(本题满分 14 分) 解： （1）因为 an 是等差数列,
a1 2d 5, 设 an 的公差为 d ，由 a3 5 ， A6 36 ，得 2a1 5d 12,
所以 a1 1 ， d 2 ，所以 an 2 n 1 ； 由 Bn 2bn 1 可知，当 n 1 时， b1 1 ； 当 n ≥ 2 时， Bn 1 2bn 1 1 ，所以 Bn Bn 1 2bn 2bn 1 ， 从而 bn 2bn 1 (n ≥ 2) ， 又 b1 1 ，所以 所以 bn 2
20．(本题满分 16 分)
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1 ， x 所以 f (1) 1 ，所以 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y x ；
解： （1）当 a 2 时， f ( x ) 2 x 1 ln x ，得 f ( x) 2
1 3 )． ，所以 n ( , 2 2 6
3 ， 2
………………2 分 ………………3 分 ………………5 分 ………………7 分 ………………9 分 ………………10 分
所以 f ( ) m n = cos 2 3 sin 2 即 f ( ) 2sin(2
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19．(本题满分 16 分) 解： （1）因为等差数列 {an } 为“M 数列” ，所以 d 3 ， 由 a1 1 ，得 S n n ……………
n( n 1) n( n 1) d ， 由题意，得 n d 2n 2 2n 对 n N 均成立， 2 2 即 n 1 d 4n 2 对 n N 均成立， ………………
17. (本题满分 14 分)
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解： （1）由 DAO ， OC AB ， OA OB 1 ，
1 ， DO tan ，所以 DC 1 tan ， cos 2 2 sin 所以 y DA DB DC 1 tan 1, 0 . cos cos 4 （注：表达式 2 分， 的的取值范围 1 分） 2sin 1 (2) y ， cos 2 1 令 y 0 ,得 sin ，又 0 ，所以 ， 2 4 6
2 ②当 0 时， h(t ) h( ), ，所求值域为 2 , ；
……………… ………………

………………
（3）因为 f ( x) e x
1 为奇函数，所以 g ( x ) f ( x ) 2( x ) f ( x ) 2 x g ( x ), ex
所以 g ( x ) f ( x ) 2 x 在 R 上单调增， 所以 x 3 1 3 x 2 1 ， 即 x 3 3x 2 2 0 ，又 x3 3x 2 2 ( x 1)( x 2 2 x 2) 0 ， 所以 x 1 3 或 1 x 1 3 ． 所以不等式的解集是 (,1 3) U (1,1 3) ． ……………… ……………… ……………
2018．11
2,2
1 ,0) e2
5.
12. 256
6. 10
13.
3

21 4
14. a -1 或 a 3 二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15．(本题满分 14 分) 解： （1）因为
……………
1 ax 1 ， x x 当 a 0 时， f ( x ) 0 ， f ( x) 单调递减不满足题意；
（2）① f ( x ) ax 1 ln x （ x 0 ）,得 f ( x ) a
………………
1 1 当 a 0 时， x (0, ) ， f ( x ) 0 ； x ( , ) ， f ( x ) 0 ； a a 1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 上单调减，在 ( , ) 上单调增． a a 1 因为函数 f ( x) 有两个零点，所以 f ( x ) min f ( ) 0 ，得 0 a 1 ． ……… a 1 1 下证：在区间 (0, ) 和 ( , ) 内分别存在一个零点. a a 1 1 a 1 1 在 (0, ) 内，因为 f ( ) 0 ，而 f ( ) 0 ，又 f ( x) 在 (0, ) 上单调减，所以由零点存在 a e e a a 1 性原理可知：在 (0, ) 内 f ( x) 有一个零点； ……………… a 1 法一：在 ( , ) 内，可以证明 ln x x 1 x ，所以 ln x x 即 ln x 2 x ， a 1 1 所以 f ( x ) ax 1 ln x ax 1 2 x a ( x ) 2 1 ， a a 2 1 1 1 1 1 取 x0 ( 1) 2 ，得 a ( x0 ) 2 1 a (1 ) 2 1 1 a 0 ， 而 f ( ) 0 ， a a a a a a 1 1 又 f ( x) 在 ( , ) 上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在 ( , ) 内 f ( x) 有一个零 a a 点． ………………