人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题（每小题4分，共40分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确）1.已知点)21(，A ，点A 关于原点的对称点是1A ，则点1A 的坐标是（ ） A. ）（2,1-- B. ）（1,2- C. ）（1,2- D . ）（2,1- 2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ． 3.方程x 2＝4的解是（ ）A ．2=xB ．2-=xC ．4,121==x xD ．2,221-==x x 4.一元二次方程0122=++x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5.用配方法解方程0562=--x x ，下列配方结果正确的是（ ）A ．11)6(2=-x B ．14)3(2=-x C ．14)3(2=+x D ．4)3(2=-x6.已知△ABC 和△D EF 关于点O 对称，相应的对称点如图1所示， 则下列结论正确的是（ ）A. AO ＝BOB. BO ＝EOC. 点A 关于点O 的对称点是点DD.点D 在BO 的延长线上 7.对抛物线6)7(2-+-=x y 描述正确的是（ ）A. 开口向下，顶点坐标是（7，-6）B. 开口向上，顶点坐标是（-7，6）C. 开口向下，顶点坐标是（-7，-6）D. 开口向上，顶点坐标是（-7，-6）8.已知点(-1，y 1)，(4，y 2)，(5，y 3)都在抛物线y ＝(x-3)2+k 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B. y 1＜y 3＜y 2 C. y 1＞y 2＞y 3 D. y 1＞y 3＞y 2 9.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝max 2＋mbx ＋mc ，其中a ，b ，c ，m均为正数，且m ≠1.则关于这两条抛物线，下列判断正确的是（ ） A.顶点的纵坐标相同 B.对称轴相同C.与y 轴的交点相同 D .其中一条经过平移可以与另一条重OFEDCBA图1（图2）Oxy合10.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2，则下列判断正确是( ) A. a ＜0，b ＞0，c ＞0 B. a ＜0，b ＜0，c ＜0 C. a ＜0，b ＜0，c ＞0 D. a ＞0，b ＜0，c ＞0 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.抛物线1322-+=x x y 的对称轴是 ．12.如图3，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于 点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为 ．13.抛物线y=x 2+8x+20与x 轴公共点的的个数情况是有 个公共点． 14.飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式 是s ＝60t －1.5t 2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒. 15.把抛物线y=(x-9)2+5向左平移1个单位，然后向上平移2移后抛物线的解析式为16.如图4，已知二次函数c bx ax y ++=2的图像过(-1,0)，(0，43-)两点，则化简代数式4)1(4)1(22-+++-a a a a三、解答题（本大题有9小题，共86分）17. （满分8分）解方程x 2＋4x －5＝0.18. （满分8分）如图5，已知A （－2，3），B （－3，2），C （－1，1）． （1）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．19. （满分8分）用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？能围成一个面积为101cm 2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．20.（满分8分）如图6，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，AE=BF ，请找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．DC OFE B A 图6B（图3）21. （满分8分）已知抛物线的顶点为（1，4），与y 轴交点为（0，3） （1）求该抛物线的解析式，并画出此函数的图像； （2）观察图像，写出当y ＜0时，自变量x 的取值范围。

22. （满分10分）如图7，已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 边交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）. 若点F 在CD 边上（不与D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD 、PF 分别交线段DA 于点H 、G . （1） 求证：PG =PF ；（2） 探究：DF 、DG 、DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.23. （满分10分）已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x 有两个不相等的实数根1x ，2x（1）求k 的取值范围 （2）试说明1x ＜0，2x ＜0（3）若抛物线1)32(22++--=k x k x y 与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且OA+OB=2OA·OB-3，求k 的值.24.（满分12分）定义：若抛物线2L ：2y mx nx =+（m ≠0）与抛物线1L ：2y ax bx =+（a ≠0）的开口大小相同，方向相反，且抛物线2L 经过1L 的顶点，我们称抛物线2L 为1L 的“友好抛物线”. （1）若1L 的表达式为22y x x =-，求1L 的“友好抛物线”的表达式；（5分）（2）平面上有点P (1，0)，Q (3，0)，抛物线2L ：2y mx nx =+为1L ：2y ax =的“友好抛物线”，A BCD EFG H P 图7且抛物线2L 的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线2L 与线段PQ 没有公共点时，求a 的取值范围.（7分）25. （满分14分）如图8，抛物线n mx x y ++-=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A (-1，0)，C (0，2) （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标。

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由.参考答案评分标准二、填空题： 11. 直线 12. 13. 0 14. 20 15. y=(x-8)2+7 16.三、解答题：17.解：x 2＋4x －5＝0b 2-4ac=42-4×(-5)=36 ……………………………2分aacb b x 242-±-= ……………………………3分=2364±- ……………………………5分 =264±- ……………………………6分 11=x ，52-=x ……………………………8分说明：☆本题亦可用因式分解法和配方法求解．☆写出正确答案（即写出x 1＝，x 2＝，）且至少有一步过程，不扣分. ☆只有正确答案，没有过程，只扣1分. ☆ 如果36没有化简（即23641+-=x ，3642--=x ），只扣1分. 18.解：正确画出△A 1B 1C 1 . ………………3分正确画出△A 2B 2C 2.，………………6分 正确写出点C 2坐标(-1，-1)………7分 ∴△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2如图为所求．…8分点的字母标错或没下结论最后一分不得分．19. 解：设该矩形的一边长为x cm ，则另一边长为(20-x) cm…………………1分依题意得： 75)20(=-x x …………………2分43-=x 2a2解得： 15,521==x x …………………3分经检验：15,521==x x 都符合题意∴另一边长20-x=15或5…………………4分 若矩形的面积=101 cm 2，依题意得：101)20(=-x x整理得： 0101202=+-x x ……………5分 b 2-4ac=400-404=-4＜0…………6分 ∴该方程无实根……………7分∴不能围成一个面积为101cm 2的矩形．……………8分答：当矩形的边长为5cm 和15cm 时面积是75cm 2，不能围成一个面积为101cm 2的矩形． 20.解：OE =OF理由如下：过点O 作OH ⊥AB 于点H……………1分 ∵OH 过圆心，OH ⊥AB ∴AH=BH ……………4分 又∵AE=BF ∴AH-AE=BH-BE 即EH=FH……………5分∵EH=FH ，OH ⊥EF∴OH 垂直平分EF ……………7分 ∴OE=OF ……………8分说明：☆垂径定理的条件（OH 过圆心，OH ⊥AB ）少一个条件扣一分． 21.解： 设抛物线解析式为)0(4)1(2≠+-=a x a y …………1分将（0,3）代入得34=+a …………2分解得1-=a …………3分∴该抛物线解析式为4)1(2+--=x y …………4分列表，描点，连线…………6分观察图像可知：当y ＜0时，自变量x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3……8分22.解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°∵DE 平分∠ADC ，∴∠PDF=∠ADP=45°…………………1分由旋转可知∠GPF=∠HPD =90°…………………2分 ∴∠GPH=∠FPD ………3分 ∵∠HPD =90°，∠ADP=45°∴△HPD 为等腰直角三角形 ……4分∴∠DHP=∠PDF=45°且PH=PD ………………5分ABCD EF GHP （图7）DC OFE B A 图6H∴△HPG ≌△DPF∴PG=PF …………………………………………6分 （2）结论：DP DF DG 2=+……………7分证明：∵△HPD 为等腰直角三角形，∴ HD 2=22DP ，∴DP HD 2=……………………………………………………8分 ∵△HPG ≌△DPF∴DF=HG ……………………………………………………9分∴DG DF DG HG HD +=+=，∴DP DF DG 2=+ ………………10分23、解：（1）∵方程有两个不相等的实数根∴ac b 42-=-12k+5＞0，∴k ＜125……………………2分 （2）由01)32(22=++--k x k x 可知3221-=+k x x ，1221+=⋅k x x ……………………3分∵1221+=⋅k x x ＞0 ∴1x 和2x 同号∵k ＜125∴32-k ＜613- ∴3221-=+k x x ＜0∴1x ＜0，2x ＜0……………5分 （3）如图设A(x 1,0)B(x 2,0)∴OA+OB=-x 1+(-x 2)=-(x 1+x 2)=3-2k ， OA·OB=-x 1·(-x 2)= 1221+=⋅k x x ……7分∴3)1(2232-+=-k k ……8分 解得2,121-==k k ……9分又∵k ＜125∴2,-=k ……10分 24.解：（1）依题意，可设1L 的“友好抛物线”的解析式为：2y x bx =-+，…1分 ∵1L ：222(1)1y x x x =-=--，∴1L 的顶点为（1，－1）. ……………3分∵2y x bx =-+过点（1，－1），∴211b -=-+，即b =0. …………4分x∴1L 的“友好抛物线”为：2y x =-. ……………5分 （2）依题意，得 m =－a .∴2L ：2y ax nx =-+的顶点为2(,)24n n a a. ……………7分∴224n a =，即2108a n =>. ……………8分当2L 经过点P （1,0）时，0a n -+=，∴a =8. ……………9分 当2L 经过点Q （3,0）时，930a n -+=，∴89a =. ……………10分 ∴抛物线2L 与线段PQ 没有公共点时，809a <<或8a >. ……12分25．解：（1）将A (-1，0)，C (0，2)代入抛物线解析式得解得 ∴抛物线解析式为 ………………………………2分（2）由 可知对称轴为直线23=x ∴D(23,0) …………3分令y=0，则 解得4,121=-=x x∴B(4,0) ………………………4分设直线BC 的解析式为y=kx+b,将B 、C 点坐标代入得⎩⎨⎧==+204b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k∴直线BC 的解析式为221+-=x y设F(x,y)，EF ⊥x 轴于点H ，则H （x,0）∴梯形COHF 的面积S 1=2)(21xyx FH CO OH +=+Rt △BHF 的面积S 2=2221xyy FH BH -=•Rt △OCD 的面积S 3=2321=•OD OC∴四边形CDBF 的面积S=S 1+S 2-S 3=232-+y x⎪⎩⎪⎨⎧==++-2021n n m ⎪⎩⎪⎨⎧==223n m 223212++-=x x y 0223212=++-x x 223212++-=x x y又∵F 在抛物线上∴将代入S 得S=213)2(25422+--=++-x x x ………8分 ∵S 是关于x 的二次函数，a=-1＜0 ∴当x=2时，S 有最大值为213………9分 此时E 点的横坐标x=2………10分 ∵E 点在直线BC 上∴12221=+⨯-=y ∴E(2,1) ………11分 （3）P 点坐标为（23，25）（23，25-）（23，-4） ………14分图8备用图223212++-=x x y。