n1
1nsinn2cos(n1t)
e 指 数 En1nsinn2 , jn1t n1,3..
周 期 对 称 方 波 信 号 的 幅 度 频 谱 中 1 收 敛 规 律
an
n
幅度谱 a n
2 w1 3w1
0 w1
4
w
5
1
w
1
w
相位
n
谱
0 w 1 2 w1 3 w1 4 w1 5 w1
w
0 w1 3 w1 5w1 7 w1 w
f (t)
解：令余弦信号为
E
f1(t)Ecow s0t() w02T0
则，全波余弦信号为：
0 T1
T1 2
T1 2
T1
t
其傅里叶级数表达式为：
f(t)f1(t)Ecow s0t)(
f(t)2E4E1 3co2sw1(t)115 co4sw1(t)315 co6sw1(t)
2E4En 1(1)n14n1 21co2sn(0 w t)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
2
2
t
可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f(t)E 24 E 2 cow s1t()9 1co3sw1(t)215co5sw1(t) ห้องสมุดไป่ตู้
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
思考题
• 1. 典型周期信号有哪些？
• 2. 周期矩形脉冲信号脉宽、周期与其频谱 的变化规律
二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
周期锯齿脉冲信号，是奇函数。
f (t)
E
解： 它是奇函数
2
T1 2
T1 0
2 E 2
an 0 t 可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f(t)Esinw1(t)12sin2w (1t)13sin3w (1t)
En 1(1)n11nsinn(w 1t)
2
f
(t)三 角 E
T1
E1
n1San21cos(n1t)
e 指 数 E T1
nSan21
jn1t
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为1, n
主要能量集中在第一个零点以内，即0~ 2
称为其频带宽度B
B
2 ,
Bf
1
Cn E
T1
n
2
0 w 1 2 w1 幅度谱
f (t)
E 2
T1
T1 / 4
0
E
2
T1 / 4
T1
t
解 ： 偶 函 数 且 a00， bn0
奇 谐 函 数 anESan2 2 nE, n1,3,5...
c0
0，cn
an
ESa
n
2
,
n
1, 3, 5...
0,
n ,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
cn
E 2
Sa
n
2
f
(t)三 角 2E
E 24 E 2 n 1n12si2n(n2)consw 1(t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
0 T 1
T1
T1
2
2
T1
t 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。
4
nw 1 w
0
2 nw 1 4 w
相位谱
幅度谱与相位谱合并 Cn
实数频谱：
c0
2
4
0 w 12 w1
w
复数频谱：
Fn
E T1
2
2 4
0 w1 2w1
w
（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点： a.是正负交替的信号，其直流分量a0等于零。 b.它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2
其傅里叶级数表达式为：
f(t)EE 2cow s1t()34co2sw1(t)145co4sw1(t)
E2En 1(n211)cons2()consw 1(t) w12T1
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 以1/n2的规律收敛。
五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解
周期全波余弦信号，是偶函数。
E
T1 / 2 /2 0 / 2 T1 / 2
t T 1
解：
f(t)E u t2 u t2 ,
T 1tT 1 22
偶函数a0
E
T1
,
bn
0
an
E1
Sa
n1
2
cn
a0
E
T1
,
cn
E1
Sa
n 1
2
0,
n ,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
an
E
T1
Sa
n 1
大家好
§ 3.3 典型信号的傅里叶级数
• 主要内容
•周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号
• 重点 周期矩形脉冲信号 • 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的
化规律
一、周期矩形脉冲信号
(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。 f (t)