因为
F 0( n ) E S a 2
所 以 F ( ) 1 E S n a 2 1 ( n 1 )
E 1 n S a n 21n1
1
T1
T
2 T
fT
t
ejn1t
dt
2
(2)
比较式(1),(2)
f0t
n1
fTt
在T 2,T 2内f0t与fTt相 同 所F 以 n1T 11F0n1
可 F 0 求 由 周 f T t的 期 F 谱 n 函 1 系 数 数
25
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换 第
页
Tt tnT1 n
T t
频谱图
第
页
FE 1si n π21ESπa2
F
E
E
2
O π 2π 3π 4π
其频谱比矩形脉冲更集中。
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
13
一．冲激函数
第
页
F()tejtdt1
f t
1
O
t
F
1
O
t看 作 1的 矩 形 0 脉 时 ,B 冲 ，
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 满足绝对可积条件，不能用定义求。
li m πS
a()
7
8
四．符号函数
第
不满足绝对
页
f(t)s gtn 1 1,,
t0 可积条件 t0
sgn( t ) 1
e t
处理方法：做一个双边函数
f1tsgn tet， F 求 1，
e t O 1
t
求 极 限F得 。到
F 1 0 e te jtd t0 e te jtd t
1 1 j2 jj22
F l i0m F 1l i0m 2j 2 2j2
频谱图
s gtnj2j2 2ej2
F
22
2
F是 偶 函 数
2
arctan
0
π2π,2 ,
0 0
是 奇 函 数
F ( )
2
O
π 2 O π 2
第 页
9
10
五．升余弦脉冲信号
第
页
ftE 21co π st 0t
0 t0
FFf(t)
Eetut ejtdt
E e j t d t 0
E j
f t
E
O
第 页
t
4
频谱图
幅度频谱：F E
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱：arctan
0,
0
,
π
2
,
π
2
第
页
F
E
O
π2
O π 2
5
强 : 2 π F n 度 1 与 F ( n 1 ) 成 ,离 正散 比
2谱 线 的 幅,因 度 F为 不 表是 示有 的限 是
周 期 F 只 信 存 号 n1 处 ,在 的 于
频 率 范 围 无,幅限度小为。
23
三．如何由F0求Fn1
第
页
即 单 F 0 与 个 f T 周 t 的 脉 F 期 n 谱 1 冲 的 信
§附： 典型信号的傅里叶变换 A 非周期信号
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
2
一．矩形脉冲信号
第
页
f t
F
2
Eejt
dt
2
E
j
ej t
2
2
E t
2O 2
j
j
E
.
e2 e 2j源自2sin E
2
2
2
E Sa
幅度频谱： F ESa
2
由傅里叶级数的指数形式出发：
fTt Fn 1 ejn1t
n
其傅氏变换(用定义)
F TF fTt
F Fn1ejn1t Fn1Fejn1t
Fn12πn1
2πFn1n1
22
几点认识
第
页
F T2π Fn1n1
1 fTt的 频 谱 由 冲 激; 序 列 组 成
位: 置 n 1 谐 波 频 率
f0t
fTt
T o T t T
o
2
2
Tt
T
设 f0t F 0 F02Tf0tejtdt (1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
T
2 T
fT
t
ejn1t dt
2
(2)
第
24
页
T
F02Tf0tejtdt
( 1)
2
fTt
F n1 ejn1t
n
F n1
比较
(t)1
() 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
第 页
F
1
O
1 f t
2π
O
t
14
15
二．冲激偶的傅里叶变换
第
页
fttdtf0
F t t e j t d t
e j t
t0
j j
16
三．单位阶跃函数
ut11sgnt
22
1 2
O
t
1 π
2
1 sgn t
1 1 1 1 1
因为 t 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
所
以Tt的
傅
氏
级
数F谱 n1
系 1数
T1
所 T 以 tn F n1ejn 1 t T 1 1n ej n 1 t
频谱
第
26
页
F
FTt
1
Fejn1t
T 1n
1
T1 n
2πn1
2π
期 周
期 统
一
的
分
析
方叶 法变 ：换 傅
里
19
一．正弦信号的傅里叶变换
第
页
由欧拉公式
cos0t
1 2
ej0t
ej0t
sin0t
1 2j
ej0t
ej0t
已知
1 2π
由频移性质
1ej0t 20
1ej0t 20
c0 o t 1 2 s 2 π 0 2 π 0 π 0 π 0 同理 s0 t i n j π 0 j π 0
2
1
2
t
O 1
2
1 sgnt 1
2
j
第 页
u t
1
O
t
u(t)π 1
j
F
π
O
O
π
O
C 周期信号的傅里叶变换
第
18
页
周期信号：
ft 傅 里 F n 叶 1 离 级散 数
非周期信号：
ft 傅 里 F 叶 连 变续 换谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
ft非 周
6
三．直流信号
f(t)E , t
E 2πE
f t
E
第
页
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
t
推导
lim F
Eejtdt
limejt
E j
ej ej
Elim
j
Elim2s
in
2πEl i m π s i n
2πE
第 页
F
2π E
O
E 2πE
时域无限宽，频带无限窄
f t
E
E
2
F ftejt dt
O 2
t 2
E 21coπstejtdt
E 2 e j td t E 4 e j te j td t E 4 e j te j td t
E S a E 2 S a π E 2 S a π
11
2
相位频谱： 0 π4n π 22 n 1 π2 2n 1π 22n2π n0,1,2,
频谱图
幅度频谱
F
E 2π
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π
0
2π 4π
π
3
第 页
F ESa
2
频宽：
B 2π或Bf
1
二．单边指数信号
ft Eet t0 0
20
频谱图
第
c0 t o π s ( 0 ) ( 0 )
页
cos0t
频
谱:图
F
π
π
0 O 0
s0 t i n j π 0 j π 0
sin0t 频 谱:图
F
π
π
0 o
0
2
0
0
o
2
21
二．一般周期信号的傅里叶变换
第
页
设 信 号:周 T1 期 2π1
T1
t
F0()ES
a
2
所 以 Fn1T 11F0n1
F()2π Fn1n12π
n
n
E T 1 Sa n 21n1
E 1 n S a n 21n1
28
方法2
第
页
利用时域卷积定理，周期T1
f(t)f0(t)T(t)
F()F 0()1 (n1)