Signals & Systems
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0


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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
2、奇对称
x(t )
t t
x(t ) e u(t ) e u(t )

1
0
t
1
X ( j )
0

jt x ( t ) e dt
e t e jt dt e t e jt dt
0
1
X ( j)
1 1 j j
j 2 2 2
0Systems
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
四、单位阶跃信号 因为单位阶跃信号不满足绝对可积的条件，不能直接由正变换 的公式求得其傅里叶变换。
u (t ) lim e u (t )
0
t
u (t )
ℱ u (t ) ℱ
lim e
0
t
u (t )


1
0
t
1 lim ℱ e u(t ) lim 0 j 0

t
lim[ 2 j 2 ] 2 2 0
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( j) lim Sa( ) 2
由第一章介绍可知，

2
x(t )
E
2
t

Sa( x)dx


X ( j)
所以
2
2
3

Sa( )d 2 Sa( )d ( ) 2 2 2 2
于是

1 2()
FT
jt e dt 2()
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若用公式表示即是
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
七、符号函数信号
1
0
x(t )
t
1
x(t ) sgn( t )
显然，符号函数信号不满足绝对可积的条件，不能由积分直接 求得其傅里叶变换。但可以由奇对称双边指数信号的傅里叶变换， 取α→0求得。
t


0
1 j
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1 2 2
e
jarctg(
)
0


2
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
三、对称单边指数信号 1、偶对称
1
t
x(t )
x(t ) e
et u(t ) et u(t )
0
0
t

X ( j)
e
0

jt x ( t ) e dt

t jt t jt e e dt e e dt 0
( j ) t
1 dt j
ℱ x(t )
2 1
1 1 2 2 j j 2
§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
§3-4 典型非周期信号的傅里叶变换
典型信号的傅里叶变换，今后经常用到，希望将它们当公式记 住。 一、单位冲激信号
j 0 jt e (t )dt ( t ) ( t ) e dt ℱ


1
ℱ (t )
x(t ) e t u(t ) 0
x(t )
1
X ( j) ℱ e u(t ) e e
t
0
( j ) t e |0 ( j ) t e dt ( j)



t jt
dt
0
X ( j)
1 1 2
1
记为
FT (t ) 1
(t )
(1)
0
t
0

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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
单位冲激信号是一时域宽度几乎为零的脉冲，其在时域的变化 率为无穷大。而对应频域中，傅里叶变换为常量1，即信号的能量 在各频率上分布均匀，因此称其为均匀谱。 二、单边指数信号
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因为
x(t ) sgn( t ) 2u(t ) 1
所以
1 2 X ( j) 2[() ] 2() j j
2 sgn( t ) j

2

2 3


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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
六、直流信号 表示直流信号的函数是一常量，这里设常量为1。显然，它也不 满足绝对可积的条件，不能由积分直接求得其傅里叶变换。
x(t )
设直流信号
1
t 0
2 2
0


如图中， α→0，上式表示的
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。其宽度为
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
) d( d arctg ( ) | 2 2 2 1 ( )
B
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2
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
x(t )
E
2
E
X ( j)
2
t
2
2
3

以上频谱图，若分别画振幅 频谱图和相位频谱图如下：
2
X ( j)
E
2
3

()
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
五、矩形脉冲信号
x(t )
E
2
x(t ) E[u (t ) u (t )] 2 2
2
t
如图所示，矩形脉冲信号满足绝对可积，可以直接通过积分变 换公式求得其傅里叶变换。

X ( j)

x(t )e
e
j 2
2 2() X ( j) lim 2 2 0
这个结果也可以通过幅度为1， 宽度为τ的矩形脉冲的傅里叶变
x(t )
1
0
X ( j)
(2)
0
t
换，取τ→∞得到。
X ( j) lim Sa( ) 2
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jt
dt
j 2
2
Ee
2
jt
1 jt 2 dt E e | 2 j
E
e j
2E
sin(
) 2 ESa( ) 2
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( j)
t t lim [ e u ( t ) e u(t )] x(t ) sgn( t ) 0
于是
0

2
2 j 2 X ( j) lim 2 j 2 0 2 j
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()
0

2
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
当Ω≠0， α→0，上式前一项 于是
0 2 2
1 ℱ u (t ) j
当 Ω=0，上式后一项
j 2 0 2
1 1 2
此时若α→0，
2 2
x(t ) 1 lim e
0
2 2 2
t
由偶对称双边指数信号的傅里叶变换
2 1
2 X ( j) lim 2 0 2
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§3.4 典型非周期信号的傅里叶变换
此频谱函数的波形当α→0，其宽度趋于无穷小，幅度趋于无穷大， 是一个冲激信号。对比阶跃信号的情况，这里冲激信号的强度应是 2π。所以
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶跃信号的 傅里叶变换 X ( j)
()
记为
1 ℱ u (t ) () j 1 u (t ) () j
FT
1
0


()
2

2
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FT
0
于是
X ( j)

2
()
0

End
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所以
FT E[u (t ) u (t )] ESa( ) 2 2 2