圆锥曲线单元测试题Last revision on 21 December 2020《圆锥曲线》单元测试题班级姓名学号分数第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()B．5 D．22、圆锥曲线y29＋x2a＋8＝1的离心率e＝12，则a的值为()A．4 B．－54C．4或－54 D．以上均不正确3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为()－1 B．2－34、已知双曲线x2a21－y2b2＝1与椭圆x2a22＋y2b2＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5、设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()＋y216＝1 ＋y212＝1 ＋y264＝1 ＋y248＝16、已知椭圆E：x2m＋y24＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝07、过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是()8、设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△P AB的面积为12的点P的个数为()A．1B．2 C．3 D．49、设F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为()－110、如图所示，从双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－ |MT|与b－a的大小关系为()A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|＝b－aC．|MO|－|MT|<b－a D．不确定11、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10]12、点P 在曲线C ：x 24＋y 2＝1上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：x ＝4于B 点，满足|P A |＝|PB |或|P A |＝|AB |，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是( )A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点是“H 点”二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)13．已知点A (1,0)，B (2,0)．若动点M 满足AB →·BM →＋2|AM →|＝0，则点M 的轨迹方程为________．14．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为______． 15．设双曲线x 2－y 23＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ，则θ的最大值为________．16．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则积的最大值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17、已知A (－2,0)、B (2,0)，点C 、点D 满足|AC →|＝2，AD→＝12(AB →＋AC →)． (1)求点D 的轨迹E 的方程；(2)过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆G 于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的 距离为45，且直线l 与轨迹E 相切，求椭圆G 的方程．18、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过原点O 斜率为1的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，椭圆右焦点F 到直线l 的距离为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆上异于M ，N 外的一点，当直线PM ，PN 的斜率存在且不为零时，记直线PM 的斜率为k 1，直线PN 的斜率为k 2，试探究k 1·k 2是否为定值若是，求出定值；若不是，说明理由．19、过点M (1,1)作直线与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，该抛物线在A 、B 两点处的两条切 线交于点P .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求△ABP 的面积的最小值．20、已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2＋3y 2＝4角线BD 所在直线的斜率为1.(1)当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程；(2)当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值． x 2a 2＋21、如图，在由圆O ：x 2＋y 2＝1和椭圆C ：y 2＝1(a >1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为63， 直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ， B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得OA →·OB→＝12OM →2，若存在，求此时直线l 的方程；若不存在， 请说明理由．22、已知椭圆的两个焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，过F 1且与坐标轴不平行的直线l 1与椭圆相交于M ，N 两点，如果△MNF 2的周长等于8. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE→恒为定值若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 《圆锥曲线》单元测试题答案一、 选择题： 题号123456789101112二、 填空题：13、x 22＋y 2＝1 14、 －12 15、 30° 16、三、 解答题：17、[解析] (1)设C 、D 点坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)， 则AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，故AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋3，y 02. 又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x 02＋3＝x ＋2，y 02＝y .解得⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .代入|AC →|＝x 0＋22＋y 20＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹E 的方程． (2)易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋2)①又设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1 (a 2>4)②因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，故|2k |k 2＋1＝1，解得k 2＝13.将①代入②整理得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0，而k 2＝13，即(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2a 2－3.由题意有a 2a 2－3＝2×45，求得a 2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为x28＋y 24＝1.18、[解析] (1)设椭圆的焦距为2c (c >0)，焦点F (c,0)，直线l ：x －y ＝0，F 到l 的距离为|c |2＝2，解得c ＝2，又∵e ＝c a ＝22，∴a ＝22，∴b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝263，或x ＝y ＝－263，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫263，263，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，－263，P (x ，y )， ∴k PM ·k PN ＝y －263x －263·y ＋263x ＋263＝y 2－83x 2－83，由x 28＋y 24＝1，即x 2＝8－2y 2，代入化简得k 1·k 2＝k PM ·k PN ＝－12为定值． 19、[解析] (1)设直线AB 方程为y ＝k (x －1)＋1，代入x 2＝2y 中得，x 2－2kx ＋2k －2＝0 其中Δ＝(－2k )2－4(2k －2)＝4[(k －1)2＋1]>0记A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝2k －2. 对y ＝x 22求导得，y ′＝x则切线P A 的方程为y ＝x 1(x －x 1)＋x 212，即y ＝x 1x －x 212①同理，切线PB 的方程为y ＝x 2x －x 222②由①、②两式得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22，于是得P (k ，k －1)，设P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝ky ＝k －1，消去参数k ，得点P 的轨迹方程为x －y －1＝0. (2)由(1)知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 2k 2－2k ＋2. 点P 到直线AB 的距离d ＝|kk －1＋1－k －1|1＋k 2＝k 2－2k ＋21＋k 2△ABC 的面积S ＝12|AB |·d ＝(k 2－2k ＋2)32＝[(k －1)2＋1]32.当k ＝1时，S 有最小值1.20、[解析] (1)由题意得直线BD 的方程为y ＝x ＋1.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝－x ＋n得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64>0， 解得－433<n <433. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝3n2，x 1x 2＝3n 2－44，y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n .所以y 1＋y 2＝n 2，所以AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 4，n 4.由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 4，n 4在直线y ＝x ＋1上，所以n 4＝3n 4＋1，解得n ＝－2.所以直线AC 的方程为y ＝－x －2， 即x ＋y ＋2＝0.(2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°， 所以|AB |＝|BC |＝|CA |. 所以菱形ABCD 的面积S ＝32|AC |2. 由(1)可得|AC |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝－3n 2＋162，所以S ＝34(－3n 2＋16)⎝⎛⎭⎪⎫－433<n <433. 所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.21、[解析] (1)∵e ＝c a ＝63，c 2＝a 2－1，∴23＝a 2－1a2，解得：a 2＝3，所以所求椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)假设存在直线l ，使得OA →·OB→＝12OM →2 易得当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y ＝kx ＋b ， 由直线l 与圆O 相切可得，b 2＝k 2＋1①把直线y ＝kx ＋b 代入椭圆C ：x 23＋y 2＝1中，整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0 则x 1＋x 2＝－6kb1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2，OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝(1＋k 2)x 1·x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝(1＋k 2)3b 2－31＋3k 2＋6k 2b 21＋3k 2＋b 2＝4b 2－3k 2－31＋3k 2＝12②由①②两式得k 2＝1，b 2＝2， 故存在直线l ，其方程为y ＝±x ±2.22、[解析] (1)由题意知c ＝3，4a ＝8，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx －1消去y 得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1， 则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， ∴PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝4m 2－8m ＋1k 2＋m 2－44k 2＋1要使上式为定值须4m 2－8m ＋1m 2－4＝41，解得m ＝178， ∴PE →·QE →为定值3364， 当直线l 的斜率不存在时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32， 由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， ∴PE →·QE →＝8164－34＝3364， 综上所述当E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0时，PE →·QE →为定值3364.。