第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰， 其中D 为229x y +≤。

(2)⎰-++Ly y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰。

*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Qy x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。

作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰，故22222222222sin cos 2Lllydx xdy ydx xdyydx xdyx y x y r r r d r πθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin x x P e y Q e y =-=，2sin x P Qe y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x xx e y dx eydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。

*3．设函数)(u f 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰=+Lxdy ydx xy f 0))((.证明：()()P Qf xy xyf xy y x∂∂'==+∂∂，记L 围成的闭区域为D, 由Green 公式，得()()00LDf xy ydx xdy dxdy +==⎰⎰⎰.第四节 对面积的曲面积分1．填空题：(1) 设∑为球面1222=++z y x ，则=⎰⎰∑dS 4π ；(2) 面密度3),,(=z y x μ的光滑曲面∑的质量=M 3dS ∑⎰⎰ .2．计算下列对面积的曲面积分： (1)⎰⎰∑++dS z y x )22(，其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分；解：{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤>>，1z x y =--，dS110120(22(1(2)31()22xyxD x y x y dx y dyx x dx -++--=-=--=⎰⎰⎰原式=(2)⎰⎰∑zdS ，其中∑为)1()(2122≤+=z y x z 的部分；解：22{(,)|2}{(,)|02}xy D x y x y r r θθπ=+≤=≤≤≤≤，dS=22200D223/22211(221)22)1)215xyx y drr drπθπππ=+==+-=+=⎰⎰⎰原式*(3) ⎰⎰∑++2)1(yxdS，其中∑为0,0,0,1====++zyxzyx围成四面体的整个边界.解：1234∑=+++∑∑∑∑，其中1:1,:1,xyz x y D x y dS=--+≤=∑，2:0,:1,yzx D y z dS dzdy=+≤=∑，3:0,:1,zxy D x z dS dxdz=+≤=∑，4:0,:1,xyz D x y dS dxdy=+≤=∑。

12342222211111122200000011200(1)(1)(1)(1)(1)1)(1)(1)(1)1111)()212(1)xy yz zx xyD D D Dx y xdSx ydydz dxdz dxdyx y y x x ydy dy dxdx dz dzx y y xydx dx y---=+++++∑∑∑∑=+++++++++=++++++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式1)ln2y=第七节 Stokes 公式 *环流量与旋度1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： (1)zdz dy dx y x ++⎰Γ32，Γ为xOy 面内圆周222a y x =+逆时针方向； 解：取∑为平面0z =的下侧被Γ围成的部分，D 为∑在xOy 面上的投影区域。

由Stokes 公式，得22226233381D dydz dzdx dxdyx y dxdy x y dxdy a x y z x y zπ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式= (2)dz y x dy x z dx z y)()()(222222-+-+-⎰Γ，Γ为平面1=++z y x 在第一卦限部分三角形的边界，从x 轴正向看去是逆时针方向；解：取∑为平面0z =的上侧被Γ围成的部分，∑的单位法向量n =。

由Stokes 公式，得222222222222cos cos cos ()2dS dS x y z xy zy z z x x y y z z x x y x y z dS dS αβγ∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∑∑------=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式=第十一章 综合练习题1．填空题：(1) 已知L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则=++⎰ds y x xy L )432(22 12a ；(2)已知L 为直线1x =上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则35sin tan Lx ydx x dy +=⎰1 ；(3)设L 是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则=+⎰Lxydy dx xy220 ；(4)曲线积分⎰+Lxdy ydx y x F ))(,(与路径无关，则可微函数),(y x F 应满足条件 xyxF yF ''= ；*(5)设∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分，取上侧，则=---+-⎰⎰∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )(3)(2)(222222 0 .2．求下列曲线积分：(1) ⎰Γds x 2，其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周；解：在Γ的方程中，由于x, y, z 循环对称，故222x dS y dS z dS ΓΓΓ==⎰⎰⎰，于是2222223112()23333a x dS x y z dS a dS a a ππΓΓΓ=++===⎰⎰⎰ *(2)⎰+-L y x ydxxdy 224，其中L 是以)0,1(为圆心，2为半径的正向圆周；解：222224(4)y x P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。

作足够小的椭圆222:4l x y ε+=，取顺时针方向，由格林公式，得2204L lxdy ydxx y+-=+⎰。

所以222222220244L l l xdy ydx xdy ydx xdy ydxd x y x y πεθπεε---=-=-==++⎰⎰⎰⎰*3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使该曲线从O 到A 积分⎰+++Ldy y x dx y)2()1(3的值最小.解：令3()(1)(2)LI a y dx x y dy =+++⎰，则3334()[1s i n (2s i n )c o s ]43I a a x x a x a x d x a a ππ=+++=-+⎰。

所以2()4(1)0I a a '=-= 所以得驻点1a =。

又(1)80I ''=>，故()I a在1a =取得最小值，从而L 为sin (0)y x x π=≤≤。

*4．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ.解：2Pxy y ∂=∂，()Q y x x ϕ∂'=∂，由于积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关， 所以P Q y x∂∂=∂∂，即2()xy y x ϕ'=，从而2()x x c ϕ=+。

由(0)0ϕ=，知0c =，所以2()x x ϕ=。

于是 (1,1)12(0,0)1()2xy dx y x dy ydy φ+==⎰⎰。

5． 计算下列曲面积分：(1)⎰⎰∑dS x 2，其中∑为圆柱面122=+y x 介于0=z 与2=z 之间的部分； 解：在∑的方程中，由于x 与y 循环对称，故22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，于是22211()222x dS x y dS dS π∑∑∑=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ *(2)⎰⎰∑++++2222)1(z y x dxdyz xdydz ，其中∑为下半球面221y x z ---=的上侧；解：设平面221:0,(,){(,)|1}z x y D x y x y =∈=+≤∑，取下侧。

∑和1∑围成的下半球体为Ω。

由格林公式得：112222210(1)(1)(1)(32)222Dxdydz z dxdyxdydz z dxdy xdydz z dxdyz dy dxdyd rdr πππθπ∑+Ω=++∑=++-++∑∑∑=-++=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰近三年考研真题（2013年）1. 设 221:1L x y +=, 222:2L x y +=,223:22L x y +=, 224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰，则1234max{,,,}I I I I =（ ）（A ）1I (B) 2I (C) 3I （D ）4I（2012年）2. 设{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y ds =∑⎰⎰（2011年）3. 设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰（2011年）4. 已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LJ x ydx x x y dy =++-⎰。