福州一中2017-2018学年高二第一学期期末高二数学(理)试卷
(完卷100分钟 满分100分)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.“方程mx 2+ny 2=1表示椭圆”是“mn>0”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点(2,1),则该双曲线方程是( )
A. =-22y x 1
B. =-22y x 3
C. =-22y x −1
D.=-22y x −3
3.若a>b>c,则一定成立的不等式是( )
A.a|c|>b|c|
B. ab > ac
C. a-|c|>b-|c|
D.
c b a 111<< 4.在极坐标系中,与点(3,3
π)关于极点对称的点的极坐标是( ) A. (3,3
π) B. (3,32π) C. (3,34π) D. (3,65π) 5.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C 后,直线AC 与平面BCD 所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
6.抛物线光学性质:平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点若抛物线y 2=4x 的焦点为F,一条平行于x 轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则直线AB 的斜率为( ) A. 34 B. −34 C. ±34 D.9
16 7.已知直线l :ax+by=2与圆O:x 2+y 2=4相离,则过点P(a,b)的直线m 与椭圆E:92x +42
y =1的交点个数为( )
A.至多一个
B. 2
C. 1
D.0
8.已知二面角A-BC-D 中,AB ⊥BC,CD ⊥BC,AB=BC=CD=2,AD=22,则点A 到平面BCD 的距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.2
9.过抛物线C:y 2=4x 焦点F 的直线/与抛物线C 交于A 、B 两点,且满足AF =3FB ,则|AB|等于( )
A.8
B.16
C.314
D. 3
16 10.已知椭圆E: 22a x +22
b
y =1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于两点M 、N(其中M 在第一象限),过M 作MC ⊥x 轴于C,直线NC 交椭圆于B.若MN ⊥MB,则椭圆的离心率( )
A. 31
B. 21
C. 22
D. 2
3 二.填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
11.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为1,∠A 1AB=∠DAB=∠A 1AD=60°则|A 1C|=________.
12.设F 1、F 2分别为双曲线线22a x -22
b
y =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线左支上存在点P,满足2|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|成等差数列,则该双曲线的渐近线方程为
____________.
13.已知点E 是正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点,且BD 1//平面B 1CE,
则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为_____________.
14.如图,由抛物线E;y=x 2上点P(2,4)作圆C:x 2+(y-2)2=1的两条切线PA 、PB 与
抛物线E 交点分别为A 、B,则直线AB 的方程为___________.
三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
本大题共5小题,共48分)
15.(8分) 已知函数f(x)=2|x+1|+|2x-1|
(I)求f(x)的最小值
(Ⅱ)解不等式f(x)≥
2
1x+8
16.(10分)已知圆锥曲线C: ⎩
⎨⎧==ααsin cos 2y x (α为参数)和定点A(3,2),F 1、F 2是曲线C 的左、右焦点,极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
(I)求圆锥曲线C 的普通方程和直线AF 2的极坐标方程
(Ⅱ)直线AF 1交曲线C 于M 、N 两点,求|MF 1|+|NF 1|的值
17.(10分)三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C和侧面ACC1A1均为菱形,CC1=2,AB1=6,
∠CBB1=∠C1CA=60°
(I)求证:平面AA1C1C⊥平面BB1C1C
(Ⅱ)求二面角C-C1B1-A1的余弦值
18. (10分)已知点M为圆F1:(x+1)2+y2=8上的动点,点F2(1.0).线段MF2的中垂线交线段MF1于点N,记点N的轨迹为E
(I)证明|NF1|+|NF2|为定值,并求出轨迹E的方程;
(Ⅱ)如图所示,过F2的直线l交轨迹E于A、B,记△F1F2A的面积为S1,△F1F2B的面积为S2,求|S1-S2|的最大值
19. (10分)已知抛物线E:x2=4y,动点P(t, −4)(t≠0),过点P作抛物线E的两条切线PA、PB,切点为A、B,直线AB交y轴于点N
(I)若M(x0,y0)是抛物线E上任意点,求证:直线l:x0x=2(y+y0)与抛物线E相切
(Ⅱ)若直线PN、AB的斜率分别为k1、k2,判断k1k2是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由。