解：（1） 故满足连续性方程，存在流函数。
方法一：
∴=y+C(x)
而 ∴C(x)=-2x+C1
故=y-2x+C1
方法二：
积分得：=y-2x+C1
（2）
故满足连续性方程，存在流函数。
方法一：
积分：
∴C(y)=-2y2+C2
故= 2x2-2y2+C2
方法二：
积分得：= 2x2-2y2+C2
例3已知流场的流函数y=ax2-ay2；
1.实际流体区别与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？
实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。
2.连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？
一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒。
例2：对于下面平面点源汇流动，如图3-32：
（1）问是无旋流还是有旋流；
（2）若是无旋流，求其速度势；
（3）求平面流动的流函数；
（4）求压强分布。
解：
（1）因
图3-32
所以为无旋流。
（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a），此时：
因：
上式中积分常数可任意给定，现取积分常数C'等于0，由该式可见，等势线是一簇以原点为圆心的同心圆（r=const）
问题：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？
答案：渐变流是指沿程逐渐改变的流动。渐变流的性质：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计。
问题：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？
D、 限于直线流动。
问题：均匀流是：
A、当地加速度为零；B、迁移加速度为零；
C、向心加速度为零； D、合加速度为零。
问题1：流速势函数存在的必要与充分条件是:
A、平面无旋流动； B、理想流体平面流动；
C、不可压缩流体平面流动；D、无旋流动。
问题2：设流速势函数j=xyz，则点B（1，2，1）处的速度uB为：
流网（flow net）：不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转速度的情况下，流线族与等势线族构成的正交网格。
流网的性质：
1）等势线与等流函数线处处正交。
2）流网中每一网格的边长之比等于j和y的增值之比（Dj/Dy），若取Dj=Dy，则流网网格为正方形网格。
流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。
2.什么是有旋流、无旋流？它们各有什么特点？
答案：有旋流：质点具有绕自身任意轴旋转的角速度，wx、wy、wz中至少有一个不等于0。
无旋流：质点不具有绕自身任意轴旋转的角速度，即wx=wy=wz=0。
算一算：不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？
（1）
（2）
（3）
(1)不连续；（2）连续；（3）连续
6.欧拉法、拉格朗日方法各以什么作为其研究对象？对于工程来说，哪种方法是可行的？
欧拉法以流场为研究对象，拉格朗日方法以流体质点为研究对象；在工程中，欧拉法是可行的。
想一想：1.粘性流有可能是无旋流吗？为什么？可能；粘性可忽略的情况。例如水和空气，静止时是无涡的，由于它们的粘滞性很小，当它们由静止过渡到运动时，在短距离内可以认为是无涡运动。又如水从水库或大小水箱流入容器时可认为是无涡流动。再如在很宽的矩形顺坡渠道中，在距渠壁较远的纵剖面上，液体质点也可以认为是无旋流。
（1）证明此流动是无涡流；（2）求出相应的速度势函数；（3）证明流线与等势线正交。
解： （1）该流场为二元流，速度分量与流函数的关系式如下：
所以此流动为无涡流，存在速度势函数。
（2）求速度势函数
（1）
现在来确定C(y)；为此将上式对y取偏导数，得
因而C'(y)=0，即C(y)=C(y为常数)
将上式代入（1）式，即得到流速势函数= -2axy+C
流函数存在条件是不可压缩平面流；势函数存在条件是有势流；若是不可压缩平面势流则均满足拉普拉斯方程形式
5.流函数有哪些物理意义？
(1）流函数等值线 就是流线。
（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差dy等于这两条流线间所通过的单位宽度流量dq。
6.什么是流网？流网有些什么性质？有哪些应用？
3.欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？
形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。
4.流函数、势函数的存在条件各是什么？它们是否都满足拉普拉斯方程形式？为什么？
3.欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？
形式完全相同，但含义不一样。 势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。 沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。
想一想：平面流体流动中的固体壁面可以看作是一条流函数等值线吗？可以，因为固体壁面往往可作为零流线来考虑。
解：
故液体流动是无旋流。
例：有二种的二元液流，其流速可表示为：（1）ux= -2y,uy=3x； （2）ux=0,uy=3xy。
试问这两种液流是不可压缩流吗？
解：（1）
符合不可压缩流的连续性方程。
所以是不可压缩流。
（2）
不符合不可压缩流的连续性方程。
所以不是不可压缩流。
例1：平面点源（汇）流动，如图3-27： 。（1）问是否为有势流。（2）若有势，求流速势。（3）是否为不可压缩流体。（4）求平面流动的流函数。
1.实际流体与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？
实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。
2.(1)连续性微分方程有哪几种形式？(2)不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？
（1）一般形式，恒定流，不可压缩流；（2）质量守恒。
将：t=0，x=-1，y=-1代入得瞬时流线
xy=1
最后可得迹线为：
即流线是双曲线。
例3已知流动速度场为
试求：（1）在t=t0瞬间，过A（x0，y0，z0）点的流线方程；
（2）在t=t0瞬间，位于A（x0，y0，z0）点的迹线方程。
解：（1）流线方程的一般表达式为
将本题已知条件代入，则有：
积分得：（1+t）lnx= lny+ lnC'
2.流线、迹线各有何性质？色线有些什么作用？
流线的性质： a、同一时刻的不同流线，不能相交。 b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 c、流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。色线可用来显示流体的流动轨迹。
3.实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？
不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确定流体流动趋势。
因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平面点汇流动（C＜0时）
例2已知平面流动
试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。
（2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。
解：（1）由式
（2）由式
得
得
得：
由t=0时，x=-1，y=-1得C1=0,C2=0，则有：
思考题及答案
一、选择
问题：恒定流是：
A、流动随时间按一定规律变化；
B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化；
C、各过流断面的速度分布相同；
D、各过流断面的压强相同。
问题： 非恒定流是：
A、 ；B、 ；
C、 ； D、 。
问题：一元流动是：
A、均匀流；
B、速度分布按直
4.“只有当过水断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？
不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不是针对一过水断面。
5.问题：恒定流、均匀流等各有什么特点？
答案：恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化， ，恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。
均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化， ，均匀流时位变加速度等于0。
当t=t0时，x=x0，y=y0，则有
故过A（x0，y0，z0）点的流线方程为
（2）求迹线方程
迹线一般表达式为
代入本题已知条件有：
由(1)式得：
当t=t0时，x=x0代入上式得
由(2)式得：
当t=t0时，y=y0代入上式得
故迹线方程为
t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程：
例：已知流体流动的流速场为 ，判断该流动是无旋流还是有旋流？
A、5； B、1；C、3； D、2。
判断：公式（3－14）与公式（3－16）两式形式完全相同，因此其应用条件也相同。
你的回答： 对错
判断：土坝渗流中的流网网格一定是直线正方形网格。
你的回答： 对错
二、例题
例1如图3-7，已知流速场为 ，其中C为常数，求流
线方程。
解：由式 得
图3-7
积分得：
则：
此外，由 得：
答案：渐变流是指沿程逐渐改变的流动。渐变流的性质：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是
1.什么是流线、迹线、色线？它们有何区别？
流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。迹线（path line）是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。色线又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。