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大学物理(上) 第九章 静电场 习题答案

第九章静电场和稳恒电场
9-1下列说法正确的是
(A) 闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内一定没有电荷,
(B) 闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内电荷的代数和必定为零,
(C) 闭合曲面的电通量为零时,曲面上各点的电场强度必定为零,
(D) 闭合曲面的电通量不为零时,曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。

9-2下列说法正确的是
(A )电场场强为零的点,电势也一定为零,
(B )电场强度不为零的点,电势也一定不为零,
(C )电势为零的点,电场强度也一定为零,
(D )电势在某一区域内为常量,则电场强度在该区域内必定为零。

9-3电荷面密度均为 +σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(a )放置,其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为证、向左为负),随位置坐标x 变化的关系曲线为()
9-4两个点电荷所带电荷之和为Q ,问他们各带电量为多少时,相互间的作用力最大? 解:20)(41
r q q Q F ⋅-⋅=πε 极限条件0=dq dF 得:2
Q q = 且0212022<-=r
dq F d πε,故各带2Q 时,相互作用最大
9-5一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ,求环心处的电场强度。

解:取dl 电荷元,其所带电量为:
θπ
θππd Q Rd R Q dl R Q dq =⋅== θπεπεd R
Q R dq dE 20200441
=⋅= x 轴上x E 的对称为零,
∴⎰⋅-==α
θsin dE E E y 202020224sin R
Q d R Q επθεπθπ
-=⋅-=⎰ 9-6一均匀带电线段,带电线密度为λ,长度为L ,求其延长线上与端点相距d 处的场强和电势。

解:)11(4)(40020L d d x d L dx E L +-=-+=⎰
πελπελ d
d L L d d x d L dx
V L +=+-=-+=⎰ln 4)1ln 1(ln 4)(40000πελπελπελ 9-7设均匀电场的电场强度E 与半径R 的半球面对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量。

解:2R E dS E S
π⋅=⋅=Φ⎰ 9-8一个内外半径分别1R 为2R 和的均匀带电球壳,总电荷为1Q ,球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面,球面带电荷为2Q ,求各区电场分布。

解:利用高斯定理⎰∑=⋅0q d S E ,有
∑=⋅024επq r E
1R r <,∑=0q ,01=E (1分)
21R r R <<,23132031312)(4)(r
R R R r Q E --=πε 32R r R <<,201
34r Q E πε=,3R r >,2
02144r Q Q E πε+= 电场强度的方向均沿径矢方向
9-9设在半径为R 的球体内,其电荷为对称分布,电荷体密度为
0==ρρkr R
r R r >≤≤0 k 为一常量。

试用高斯定理求电场强度E 与r 的函数关系。

(你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗?)
解:如图所示
作半径为r 的同心球形高斯面,据高斯定理有:
0εq d =⋅⎰s E R r ≤时,402244kr r d r r k dr r q r
r o πππρ=''⋅'='⋅=⎰⎰ ∴4024kr r E εππ=⋅,∴20
4r k E ε= 方向沿球半径方向 R r ≥时,424kR dr r q R o ππρ⎰=⋅=,∴402
4kR r E εππ=⋅,2044r kR E ε= 附:用场叠加原理来求解。

将球体分割成球壳,每个球壳相当于一个带电球面,当R r ≤时,场强由r 半径内的各个球壳产生(因为球壳在其内部产生的场强为零,故大于半径r 的球壳不在r 处产生场强),每个球壳在r 处产生的场强为:(球壳半径为r ')
2041
r dq dE ⋅=πε 而r d r dq ''⋅=24πρ∴02
220004441εππεkr r d r r r k dE E r r =''⋅'⋅==⎰⎰,
R r ≥ 时,20422004441
r kR r d r r r k E R
εππε=''⋅'⋅=⎰(以上E 的方向均沿球半径方向) 9-10两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为1R 和2R )(12R R >,
单位长度上的电荷为λ。

求离轴线为r 处的电场强度:(1)1R r <;(2)
21R r R <<;(3)2R r >。

解:如图
用高斯定理,作同轴柱形高斯面(柱面长度为L )有:
(1)1R r <时, 020==⋅επq
rL E ∴01=E
(2)21R r R <<时, 002ελεπL q rL E ==
⋅∴r E 022πελ= (3)2R r >时, 020
0=-==⋅ελλεπL L q rL E ∴03=E 9-11两个同心球面的半径分别为1R 和2R ,各自带有电荷1Q 和2Q 。

求(1)各区域电势的分布;(2)两球面上的电势差为多少。

解:由高斯定理可求得电场分布
01=E 1R r <
r e r Q E 201
24πε= 21R r R <<
r e r Q Q E 202134πε+=
2R r >
由电势⎰∞
⋅=r dl E V 可求得各区域的电势分布, 当1R r ≤时, ⎰⎰⎰∞
⋅+⋅+⋅=22113211R R R R r dl E dl E dl E V 2
021210114)11(4R Q Q R R Q πεπε++-= 21R r R ≤<时 ⎰⎰∞
⋅+⋅=22322R R r dl E dl E V 2
02120114)11(4R Q Q R r Q πεπε++-= r R <2时 ⎰∞⋅=r dl E V 33r
Q Q 14021πε+= 9-12点电荷1q 、2q 、3q 、4q 的电荷量均为9104-⨯C ,放置在一个四方形的四个顶点上,各顶点距正方形中心O 点的距离均为5cm ,(1)计算O 点处的场强和电势;(2)将一试探电荷910-=Q C 从无穷远移到O 点,电场力作功多少?(3)问
(2)中所述过程中0q 的电势能的改变为多少?
解:(1)位于对角的两相同点电荷在O 点处的场强相互抵消,故O 点的场强为零。

四点电荷在O 点电势相同,故O 点电势为
r q
r q V 00044πεπε==05.01085.814.3104129
⨯⨯⨯⨯=--31088.2⨯=V (2)无穷远处电势为零,639001088.2)1088.20(10)(--∞⨯-=⨯-=-=V V q A J
(3)在移动0q 过程中要克服电场力作功,它使0q 的电势能增加了61088.2-⨯J 9-13两个同心球面,半径分别为10cm 和30cm ,小球面均匀带有正电荷10-8C ,大球面带有正电荷1.5×10-8C 。

求:离球心分别为20cm 、 50cm 处的电势? 解:距球心20=r cm 处是在两球面之间。

该处电势为 900)(41442
210202
01
=+=+=R q r q R q r q V πεπεπεV 50=r cm 处是在大球面之外。

该处电势为 4504021=+=r
q q V πεV 距球心20=r cm 处是在两球面之间。

该处电势为
900)(41442
210202
01
=+=+=R q r q R q r q V πεπεπεV 50=r cm 处是在大球面之外。

该处电势为 4504021=+=
r
q q V πεV。

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