第九章静电场和稳恒电场
9-1下列说法正确的是
(A) 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷，
(B) 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，
(C) 闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零，
(D) 闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。

9-2下列说法正确的是
（A ）电场场强为零的点，电势也一定为零，
（B ）电场强度不为零的点，电势也一定不为零，
（C ）电势为零的点，电场强度也一定为零，
（D ）电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零。

9-3电荷面密度均为 +σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图（a ）放置，其周围空间各点电场强度E （设电场强度方向向右为证、向左为负），随位置坐标x 变化的关系曲线为（）
9-4两个点电荷所带电荷之和为Q ，问他们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？ 解：20)(41
r q q Q F ⋅-⋅=πε 极限条件0=dq dF 得：2
Q q = 且0212022<-=r
dq F d πε，故各带2Q 时，相互作用最大
9-5一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：取dl 电荷元，其所带电量为：
θπ
θππd Q Rd R Q dl R Q dq =⋅== θπεπεd R
Q R dq dE 20200441
=⋅= x 轴上x E 的对称为零，
∴⎰⋅-==α
θsin dE E E y 202020224sin R
Q d R Q επθεπθπ
-=⋅-=⎰ 9-6一均匀带电线段，带电线密度为λ，长度为L ，求其延长线上与端点相距d 处的场强和电势。

解：)11(4)(40020L d d x d L dx E L +-=-+=⎰
πελπελ d
d L L d d x d L dx
V L +=+-=-+=⎰ln 4)1ln 1(ln 4)(40000πελπελπελ 9-7设均匀电场的电场强度E 与半径R 的半球面对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：2R E dS E S
π⋅=⋅=Φ⎰ 9-8一个内外半径分别1R 为2R 和的均匀带电球壳，总电荷为1Q ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为2Q ，求各区电场分布。

解：利用高斯定理⎰∑=⋅0q d S E ，有
∑=⋅024επq r E
1R r <，∑=0q ，01=E （1分）
21R r R <<，23132031312)(4)(r
R R R r Q E --=πε 32R r R <<，201
34r Q E πε=，3R r >，2
02144r Q Q E πε+= 电场强度的方向均沿径矢方向
9-9设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为
0==ρρkr R
r R r >≤≤0 k 为一常量。

试用高斯定理求电场强度E 与r 的函数关系。

（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）
解：如图所示
作半径为r 的同心球形高斯面，据高斯定理有：
0εq d =⋅⎰s E R r ≤时，402244kr r d r r k dr r q r
r o πππρ=''⋅'='⋅=⎰⎰ ∴4024kr r E εππ=⋅，∴20
4r k E ε= 方向沿球半径方向 R r ≥时，424kR dr r q R o ππρ⎰=⋅=，∴402
4kR r E εππ=⋅，2044r kR E ε= 附：用场叠加原理来求解。

将球体分割成球壳，每个球壳相当于一个带电球面，当R r ≤时，场强由r 半径内的各个球壳产生（因为球壳在其内部产生的场强为零，故大于半径r 的球壳不在r 处产生场强），每个球壳在r 处产生的场强为：（球壳半径为r '）
2041
r dq dE ⋅=πε 而r d r dq ''⋅=24πρ∴02
220004441εππεkr r d r r r k dE E r r =''⋅'⋅==⎰⎰，
R r ≥ 时，20422004441
r kR r d r r r k E R
εππε=''⋅'⋅=⎰（以上E 的方向均沿球半径方向） 9-10两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R )(12R R >，
单位长度上的电荷为λ。

求离轴线为r 处的电场强度：（1）1R r <；（2）
21R r R <<；（3）2R r >。

解：如图
用高斯定理，作同轴柱形高斯面（柱面长度为L ）有：
（1）1R r <时， 020==⋅επq
rL E ∴01=E
（2）21R r R <<时， 002ελεπL q rL E ==
⋅∴r E 022πελ= （3）2R r >时， 020
0=-==⋅ελλεπL L q rL E ∴03=E 9-11两个同心球面的半径分别为1R 和2R ，各自带有电荷1Q 和2Q 。

求（1）各区域电势的分布；（2）两球面上的电势差为多少。

解：由高斯定理可求得电场分布
01=E 1R r <
r e r Q E 201
24πε= 21R r R <<
r e r Q Q E 202134πε+=
2R r >
由电势⎰∞
⋅=r dl E V 可求得各区域的电势分布， 当1R r ≤时， ⎰⎰⎰∞
⋅+⋅+⋅=22113211R R R R r dl E dl E dl E V 2
021210114)11(4R Q Q R R Q πεπε++-= 21R r R ≤<时 ⎰⎰∞
⋅+⋅=22322R R r dl E dl E V 2
02120114)11(4R Q Q R r Q πεπε++-= r R <2时 ⎰∞⋅=r dl E V 33r
Q Q 14021πε+= 9-12点电荷1q 、2q 、3q 、4q 的电荷量均为9104-⨯C ，放置在一个四方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心O 点的距离均为5cm ，（1）计算O 点处的场强和电势；（2）将一试探电荷910-=Q C 从无穷远移到O 点，电场力作功多少？（3）问
（2）中所述过程中0q 的电势能的改变为多少？
解：（1）位于对角的两相同点电荷在O 点处的场强相互抵消，故O 点的场强为零。

四点电荷在O 点电势相同，故O 点电势为
r q
r q V 00044πεπε==05.01085.814.3104129
⨯⨯⨯⨯=--31088.2⨯=V （2）无穷远处电势为零，639001088.2)1088.20(10)(--∞⨯-=⨯-=-=V V q A J
（3）在移动0q 过程中要克服电场力作功，它使0q 的电势能增加了61088.2-⨯J 9-13两个同心球面，半径分别为10cm 和30cm ，小球面均匀带有正电荷10-8C ，大球面带有正电荷1.5×10-8C 。

求：离球心分别为20cm 、 50cm 处的电势？ 解：距球心20=r cm 处是在两球面之间。

该处电势为 900)(41442
210202
01
=+=+=R q r q R q r q V πεπεπεV 50=r cm 处是在大球面之外。

该处电势为 4504021=+=r
q q V πεV 距球心20=r cm 处是在两球面之间。

该处电势为
900)(41442
210202
01
=+=+=R q r q R q r q V πεπεπεV 50=r cm 处是在大球面之外。

该处电势为 4504021=+=
r
q q V πεV。