2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学（文）试题及答案一、单选题1．tan 2y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A ．710B ．15C ．2πD ．3103．已知函数()ln f x x =+()f x 的定义域为（）A ．(0,1)B ．(1,2]C ．(0,4]D ．(0,2]4．已知直线,a b 与平面,,αβγ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．,a a αβ⊥⊥且B ．,αγβγ⊥⊥且C ．,,//a b a bαβ⊂⊂D ．,,//,//a b a b ααββ⊂⊂5．在区间[]1,1-上随机地取一个数x .则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）.A ．23B ．2πC ．12D ．136．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A ．x x <甲乙，22S S >甲乙B ．x x >甲乙，22S S <甲乙C ．x x <甲乙，22S S <甲乙D ．x x >甲乙，22S S >甲乙7．已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<8．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+ ，3BC a b =- ，23CD a b =-，则四边形ABCD 是（）A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（）（参考数据：001.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A ．48B ．36C ．24D ．1210．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．已知体积为O ABC -的顶点A ，B ，C 都在球O 的表面上，且6AB =，BC =，AC =O 的表面积是（）A ．16πB ．32πC ．64πD ．72π12．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，22BDAB BC ===，AC CD ==，点E 在四边形ABCD 上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．3B ．1-C ．3-D ．4-二、填空题13．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．14．函数log (23)4a y x =-+的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图像上，则(3)f =__________．15390y -+=被圆()()22223x y r -+-=，则r =________.16．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题17．已知平面向量a =(1，x )，b=(2x +3，-x )，x ∈R .（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a∥b，求|a -b|的值.18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．19．已知函数()2()log 21(R)xf x kx k =++∈．（1）若0k =求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 为偶函数，求k 的值．20．已知矩形ABCD 中， 2 2AD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角 D EF B '--为60︒．（1）求证 EF AD '⊥；（2）求四棱锥 A EFC D ''-的体积．21．已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移3π个单位长度．得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；（2）当,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数222123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域．22．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B 2．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．数学（文）试题参考答案1-10ADCAD AAACB 13.17；14.9；15.2；16.-117.解：（1）若a ⊥b ，则a ·b=(1，x )·(2x +3，-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0整理得x 2-2x -3=0，解得x=-1或x=3.（2）若a ∥b，则有1×(-x )-x (2x +3)=0，即x (2x +4)=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a =(1，0)，b =(3，0)，a -b=(-2，0)，∴|a -b |2；当x=-2时，a =(1，-2)，b =(-1，2)，a -b=(2，-4)，∴|a -b |=综上，可知|a -b|=2或18.解：⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示，分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示，则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==．19.解：（1）当0k =时，()2()log 21xf x =+，∵()2log 211212x x+>⇔+>，即21x >，∴0x >，即不等式的解集为(0,)+∞．（2）由于()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，所以()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++，∴()()222log 21log 21x xkx -=+-+221log 21x x-+=+21log 2x x ==-对任意实数x 都成立，∴21k =-，所以12k =-．20.解：（1）∵ABCD 是矩形，且E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴EF AE ⊥，EF D E '⊥，又,,AE D E E AE D E ''=⊂ 平面AD E '，∴EF ⊥平面AD E '，∵AD '⊂平面AD E '，∴EF AD '⊥（2）取DE 的中点H ，连接AH ，HC '由EF ⊥平面AD E '可知AE EF ⊥，D E EF '⊥所以D EA '∠为二面角D EF B '--的平面角．∴60D EA '∠=︒．∵ 1AE D E '==，∴AD E ' 为等边三角形，∴AH D E '⊥．由（1）知平面EFC D ''⊥平面AD E '，且平面EFC D '' 平面AD E ED ''=，∴AH ⊥平面EFC D ''，在AED '△中，易知2AH =，∴13A EFC E C D F D S A V H''''-=⋅1331326=⨯⨯=．21.解：（1）由图得31134632T πππ=-=，∴2T π=，∴21T πω==．由1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得11sin 06A πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴112()6k k πϕπ+=∈Z ，∴112()6k k πϕπ=-∈Z ，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ．由(0)2f =得sin 26A π=，∴4A =．∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴5()4sin 24sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令5222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ．解得2()36k x k k ππππ-≤≤-∈Z ．∴()g x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）224sin 2212342y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 2cos cos2sin44x x xππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22x x=-4sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,4412x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴2sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴[4,y ∈-，即y 的值域为[4,-．22.解：解：（1）设(,)M x y=，化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-，∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30°，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l5=，且圆C 的半径为2，∴max 6525d =+，min 6525d =-，∴max 125||45PQ =+，min 125||45PQ =-．。