洛阳市２０１７———２０１８学年第一学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题
１—５ＣＢＤＡＣ ６—１０ＡＤＤＡＣ １１—１２ＡＢ二、填空题
１３．－１ １
４．槡２６ １５．（１，４）注：（［１，４）也可） １６．π２
三、解答题
１７．解：（１）若犾１⊥犾２，
则有３×犿＋（犿＋１）×２＝０，
……２分解得犿＝－２５
．……４分
（２）若犾１∥犾２，则有３×２－犿（犿＋１
）＝０，……６分
解得犿＝－３或犿＝２，
……８分
当犿＝－３时，直线犾２与直线犾２平行；
当犿＝２时，直线犾１与直线犾２重合，
不符合题意，舍去．所以犿＝－３．……１０分１８．解：（１）由题可知，点犅在角平分线狔＝狓上，可设点犅坐标（犿，犿）
，……１分则犃犅的中点（犿＋１２，犿＋２２）在直线犆犕上，……３分
∴　
犿＋１２＋２·犿＋２２
－１＝０解得犿＝－１
……５分
所以，点犅坐标（－１，－１）．……６分
（２）设点犃关于狔＝狓的对称点为犃′（狓０，狔０）
，则由狔０－２狓０－１＝－１，狔０＋２２＝
狓０＋１２
烅
烄烆，解得狓０＝２
，狔０＝１｛
．……８分
直线犃′犅的方程为狔－（－１）１－（－１）＝狓－（－１）２－（－１
）．……１０分
直线犃′犅的方程即是直线犅犆的方程，
化简，可得直线犅犆的方程为２狓－３狔－１＝０．
……１２分
１９．证明：（１）∵　犘犃垂直圆犗所在的平面，点犅、犆在圆犗上，
∴　犘犃⊥犅犆．
∵　犃犅为圆犗的直径，犆是圆犗上除犃、犅外一动点，∴　犃犆⊥犅犆．……２分又　∵　犘犃∩犃犆＝犃，∴　犅犆⊥平面犘犃犆．……３分而犃犖 平面犘犃犆，∴　犅犆⊥犃犖．……４分
在三角形犘犅犆中，犕、犖分别是线段犘犅、犘犆的中点，
∴　犕犖∥犅犆．
∴　犃犖⊥犕犖．……６分
（２）连接犗犕，在△犃犅犆中，犕、犗分别是犘犅、犃犅的中点，∴　犗犕∥犘犃且犗犕＝１２犘犃．
……７分
由题知犘犃垂直圆犗所在的平面犃犅犆，∴　犗犕⊥平面犃犅犆．∵　犗犆 平面犃犅犆，
∴　犗犕⊥犗犆．……９分又　∵　犗犆是圆犗的半径，且犘犃＝犃犅
∴　犗犕＝犗犆．
∴　△犗犆犕为等腰直角三角形，即犗犕与犕犆所成角为４５°．……１１分
∵　犗犕∥犘犃，
∴　异面直线犘犃与犆犕所成角为定值，大小为４５°．
……１２分
２０．解：（１）因为犳（狓）为奇函数，则有犳（－狓）＋犳（狓）＝０对定义域内的任意狓恒成立，
所以，ｌｇ－犪狓－３－狓＋３＋ｌｇ犪狓－３狓＋３＝ｌｇ９－犪２狓２
９－狓２
＝０恒成立，……２分
所以，９－犪２狓２
９－狓２＝１，（犪２－１）狓２＝０对定义域内的任意狓恒成立，故犪２－１＝０，
即犪＝±１．……３分当犪＝１时，犳（
狓）＝ｌｇ狓－３狓＋３
为奇函数，满足条件；……４分
当犪＝－１时，犳（
狓）＝ｌｇ－狓－３狓＋３
无意义，故不成立．……５分综上，犪＝１．
……６分（２）若［２，５］ 犐，则当狓∈［２，５］时，有犪狓－３狓＋３
＞０恒成立，……７分因为狓≥２，所以狓＋３＞０，从而犪狓－３＞０在狓∈［２，５
］上恒成立，……８分
令犵（狓）＝犪狓－３，
则当犪＝０时，
不合题意；当犪≠０时，犵（
２）＝２犪－３＞０，犵（
５）＝５犪－３＞０｛
，，解得犪＞３２，
……１１分所以，实数犪的取值范围是（３２
，＋∞）
．……１２分
２１．证明：（１）（法一）取犘犃的中点犕，连接犉犕，犇犕．∵　犉，犕分别为犘犅，犘犃的中点，
∴　犉犕∥犃犅且犉犕＝１２
犃犅，
……１分
又　∵　点犈是犆犇的中点，四边形犃犅犆犇为菱形，
∴　犇犈∥犃犅且犇犈＝１２
犃犅，……２分∴　犉犕∥犇犈且犉犕＝犇犈．∴　四边形犇犈犉犕为平行四边形，　∴　犈
犉∥犇犕．……３分
∵　犈犉 平面犘犃犇，犇犕 平面犘犃犇．∴　犈犉∥平面犘犃犇．……４分
（法二）取犃犅的中点犕，连接犉犕，犕犈．
∵　犉，犕分别为犘犅，犃犅的中点，　∴　犉犕∥犘犃又　∵　犉犕 平面犘犃犇，犘犃 平面犘犃犇，
∴　犉犕∥平面犘犃犇，
……１分同理可得，犕犈∥平面犘犃犇．……２分∵　犕犈∩犉犕＝犕，犕犈，犉犕 平面犉犕犈，∴　平面犉犕犈∥平面犘犃犇．……３分又　∵　犈犉 平面犉犕犈，∴　犈犉∥平面犘犃犇．
……４分
（２）　∵　底面犃犅犆犇是边长为２的菱形，犃犈＝槡３，∴　犃犈２＋犇犈２＝犃犇２∴　犃犈⊥犇犈．……５分
而犇犈∥犃犅，∴　犃犈⊥犃犅．又　∵　犘犃⊥平面犃犅犆犇，犃犈 平面犃犅犆犇，∴　犘犃⊥犃犈．……６分∵　犃犅∩犘犃＝犃，∴　犃犈⊥平面犘犃犅．……７分而犃犈 平面犃犈犉，∴　平面犃犈犉⊥平面犘犃犅．……８分
（３）由（２）可知：犃犈⊥平面犘犃犅，∴　犃犈⊥犘犃，犃犈⊥犃犉．
∵　犃犈为二面角犘－犃犈－犉的棱，犃犉 平面犃犈犉，犘犃 平面犘犃犈，
∴　∠犘犃犉为二面角犘－犃犈－犉的平面角．……１０分
在直角三角形犘犃犅中，　∵　犃
犅＝犃犘＝２，且犉为犘犅的中点，∴　∠犘犃犉＝４５°．……１１分∴　二面角犘－犃犈－犉的大小为４５°．……１２分
２２．解：（１）由题可知，圆心犆在狔轴上，犗犆⊥狓轴，
设狓轴与圆犆交于点犃、犅，狘犗犃狘＝槡２，狘犗犆狘＝１，狘犃
犆狘＝狉，因为△犃犗犆为直角三角形，所以狘犗犃狘２＋狘犗犆狘２＝狘犃
犆狘２
，即（槡
２）２＋１２＝狉２，……２分
所以狉＝槡３，
所以圆的方程为狓２＋（狔－１）２
＝３．……３分（２
）当犿＝－２时，直线犾的方程为狔＝狓－２，因为△犘犙犆为直角三角形，所以狘犘犙狘２＝狘犘犆狘２－狘犙犆狘２＝狘犘犆狘２
－３，当狘犘犆狘最小时，切线长狘犘犙狘最短．显然当犘犆⊥犾时，狘犘犆狘最小．……４分因为犽犘犆＝－１
，犆（０，１），所以直线犘犆：狔－１＝－１×（狓－０），即狔＝－狓＋１，……５分
由狔＝－狓＋１，
狔＝狓－２｛，得狓＝
３２，狔＝－１２
烅
烄烆．即犘（３２，－１２）．……６分
（３）设犕（狓１，狔１），犖（狓２，狔２），由题可得狓１≠０，狓２≠０
，由狓２＋（狔－１
）２
＝３，狔＝狓＋犿
｛
，得
２狓２
＋２（犿－１）狓＋犿２－２犿－２＝０，
……８分所以，Δ＝４（犿－１）２
－８
（犿２－２犿－２）＞０，狓１＋狓２＝－（犿－１），狓１·狓２＝
犿２－２犿－２２
．……９分
因为犗犕⊥犗犖，所以犽犗犕·犽犗犖＝
狔１狓１·狔２
狓２
＝－１，即狓１狓２＋狔１狔２＝０
，……１０分所以狓１狓２＋（狓１＋犿）（狓２＋犿）＝２狓１狓２＋犿（狓１＋狓２）
＋犿２
＝０即２×犿２
－２犿－２２
－犿（犿－１）＋犿２
＝０，
……１１分
整理得犿２－犿－２＝０，
解得犿＝－１或犿＝２．经检验满足Δ＞０，
所以犿＝－１或犿＝２．
……１２分。