导数与函数类压轴题精讲（前三讲）题型一切线型1.求在某处的切线方程2.求过某点的切线方程3.已知切线方程求参数题型二单调型1.主导函数需“二次求导”型2.主导函数为“一次函数”型3.主导函数为“二次函数”型4.已知函数单调性，求参数范围题型三极值最值型1.求函数的极值2.求函数的最值3.已知极值求参数4.已知最值求参数题型四零点型1.零点(交点，根)的个数问题2.零点存在性定理的应用3.极值点偏移问题题型五恒成立与存在性问题1.单变量型恒成立问题2.单变量型存在性问题3.双变量型的恒成立与存在性问题4.等式型恒成立与存在性问题题型六与不等式有关的证明问题1.单变量型不等式证明2.含有e x 与lnx 的不等式证明技巧3.多元函数不等式的证明4.数列型不等式证明的构造方法题型一切线型1.求在某处的切线方程例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x ²e x 在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝3x ²e x ，得f ′(x )＝6x －3x ²e x，切点为(1，3e )，斜率为f ′(1)＝3e 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3e ；∴切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，即3x －ey ＝0.例2.求f (x )＝e x (1x＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x ²＋1x＋2)由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0.例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x在点(0，f (0))处的切线方程.解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －11＋x 由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2；∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x ²4与直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.解：由题意得：a =x ²4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )，由f (x )＝x ²4，得f ′(x )＝x 2，当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ，此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0；当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ，此时切线方程为：ax －y －a ＝0；解题模板一求在某处的切线方程⑴写出f (x )；⑵求出f ′(x )；⑶写出切点(x 0，f (x 0))；⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).2.求过某点的切线方程Step 1设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)Step 2因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2Step 2当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1)当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)例1.求f (x )＝13x 3＋43过点P (2，4)的切线方程.O o O o Oo P P P 点P 不在曲线上不是切点点P 在曲线上不确定是切点点P 在曲线上切点解：设切点为(x 0，13x 03＋43)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 0²，所以切线方程为：y －13x 03＋43＝x 0²(x －x 0)，由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋43＝x 0²(2－x 0)，整理得：x 03－3x 0²＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0；当x 0＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0.例2.求f (x )＝x 3－4x ²＋5x －4过点(2，－2)的切线方程.解：设切点为(x 0，x 03－4x 0²＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－8x 0＋5，所以切线方程为：y －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(x －x 0)，由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(2－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝2当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0；当x 0＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，求m 的取值范围.解：设切点为(x 0，x 03－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－3，切线方程为y －(x 03－3x 0)＝(3x 0²－3)(x －x 0)∵切线经过点P (1,m )，∴m －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(1－x 0)，即：－2x 03＋3x 0²－3－m ＝0，即m ＝－2x 03＋3x 0²－3∵过点A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，∴方程m ＝－2x 03＋3x 0²－3，有三个不同的实数根.∴曲线H (x 0)＝－2x 03＋3x 0²－3与直线y =m 有三个不同交点，H ′(x 0)＝－6x 0²＋6x 0＝－6x 0(x 0－1)令H ′(x 0)＞0，则0＜x 0＜1；令H ′(x 0)＜0，则x 0＜0或x 0＞1∴H (x 0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，∴H (x 0)的极小值＝H (0)＝－3，H (x 0)的极大值＝H (1)＝－2，由题意得－3＜x ＜－2.例4.由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作几条切线，并说明理由.解：设切点为(x 0，lnx 0－x 0－1)，则切线斜率f ′(x 0)＝1x 0－1，切线方程为y －(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(x －x 0)，∵切线经过点(－e ，e －2)，∴e －2－(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(－e －x 0)，即lnx 0＝e x 0∵y =lnx 与y =e x 只有一个交点∴方程lnx 0＝e x 0有唯一的实数根∴由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作一条切线.解题模板二求过某点的切线方程⑴设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)⑵因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2⑶当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f′(x0)(x－x1)当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f′(x0)(x－x2)3.已知切线方程求参数解题模板三已知切线方程求参数已知直线Ax＋By＋C＝0与曲线y=f(x)相切⑴设切点横坐标为x0，则切线斜率＝切线斜率(x0)＝－Ax0＋CBf′(x0)＝－AB⑵解方程组得x0及参数的值.例1.函数f(x)＝alnxx＋1＋bx在(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值.解：∵f(x)＝alnxx＋1＋bx，∴f′(x)＝a(x＋1)x－alnx(x＋1)²－bx²f(1)＝1′(1)＝－12，即b＝1b＝－12∴a＝b＝1例2.f(x)＝ae x lnx＋be x－1x在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值.解：∵f(x)＝ae x lnx＋be x－1x，∴f′(x)＝aex(1x＋lnx)＋bex－1(－1x²＋1x)f(1)＝2′(1)＝－e＝2＝e∴a＝1，b＝2例3.若直线y＝kx＋b是y=lnx＋2的切线，也是y=ln(x＋1)的切线，求b.解：设y＝kx＋b与y=lnx＋2相切的切点横坐标为x1，y＝kx＋b与y=ln(x＋1)相切的切点横坐标为x2，2＝kx1＋b①②1)＝kx2＋b③k④，由②③得：x1＝x2＋1，由①－③得：lnx1－ln(x2＋1)＋2＝k(x1－x2)，将上式代入得：k＝2∴x1＝12，代入①得：－ln2＋2＝1＋b∴b ＝1－ln 2.例4.若f (x )＝x 与g (x )＝a lnx 相交，且在交点处有共同的切线，求a 和该切线方程.解：设切点横坐标为x 0alnx 0①＝a x 0②，由②得x 0＝2a ，代入①得：x 0＝e ²，∴a ＝e 2∵切点为(e ²，e )，切线斜率为12e，∴切线方程为x －2ey ＋e ²＝0.例5.已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，当a 为何值时，x 轴为曲线方程y =f (x )的切线.例6.已知函数f (x )＝x ²＋ax ＋b 和g (x )＝e x (cx ＋d )都过点P (0,2)且在P 处有相同切线y =4x ＋2，求a ，b ，c ，d 的值.题型二单调型1.主导函数需“二次求导”型I 不含参求单调区间例1.求函数f (x )＝x (e x －1)－12x ²的单调区间.解：f (x )的定义域为Rf ′(x )＝e x (1＋x )－1－x ＝(x ＋1)(e x ＋1)令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞0；令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0f (x )的增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)，减区间为(－1，0)。

例2.求函数f (x )＝(1＋a x)e x (a ＞0)在(－∞，0)上的单调性.解：f (x )的定义域为(－∞，0)f ′(x )＝e x (－a x ²＋a x ＋1)＝e x x ²(x ²＋ax －a )令f ′(x )＞0，得x ＜－a －a ²＋4a 2；令f ′(x )＜0，得－a －a ²＋4a 2＜x ＜0f (x )的增区间为(－∞，－a －a ²＋4a 2)，减区间为(－a －a ²＋4a 2，0)。