高考数学函数压轴题：1. 已知函数 f (x)1 x 3 ax b(a, b R) 在 x2 处取得的极小值是4 . 33(1) 求 f (x) 的单调递增区间；(2) 若 x [ 4,3] 时，有 f ( x)m 2 m 10 恒成立，求实数 m 的取值范围 .32. 某造船公司年最高造船量是 20 艘 . 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x 2– 10x 3( 单位：万元 ), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ).又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x)定义为 : Mf (x) = f (x+1)– f(x). 求 : （提示：利润= 产值 – 成本）(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?(3)边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？3. 已知函数(x)5x25x 1 ( x R) ，函数 yf ( x) 的图象与 ( x) 的图象关于点 (0, 1) 中心对称。

2（ 1）求函数 y f ( x) 的解析式；（ 2）如果 g 1 ( x)f ( x) ，g n (x) f [ g n 1 ( x)]( n N , n2) ，试求出使 g 2 (x) 0 成立的 x 取值范围；（ 3）是否存在区间E ，使 Ex f (x)对于区间内的任意实数x ，只要 n N ，且 n2 时，都有g n ( x) 0 恒成立？4．已知函数： f ( x)x 1 a(a R 且 x a)a x（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a－ x)=0 对定义域内的所有x 都成立 .（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+1,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；2+|(x2（Ⅲ）设函数 g(x)=x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .5. 设 f (x) 是定义在 [ 0,1] 上的函数，若存在 x *(0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x * ] 上单调递增，在 [ x * ,1] 上单调递减，则称 f ( x)为 [0,1] 上的单峰函数， x * 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 .对任意的 [0,1] 上的单峰函数 f ( x) ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 .（ 1）证明：对任意的 x 1 , x 2 (0,1) ， x 1x 2 ，若 f (x 1 )f ( x 2 ) ，则 (0, x 2 ) 为含峰区间；若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 ( x 1 ,1)为含峰区间；（ 2）对给定的 r ( 0 r 0.5) ，证明：存在 x 1 , x 2 (0,1) ，满足 x 2 x 1 2r ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r ；6. 2 ax 2 0 的两根分别为，函数 f (x)4x a 设关于 x 的方程 2x、21x（ 1）证明 f ( x) 在区间 ,上是增函数；（ 2）当 a 为何值时， f (x) 在区间 ,上的最大值与最小值之差最小7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的 x 0，当甲公司投入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释 f 0 , g 0 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a112万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n时，乙调整宣传费为b n；试问是否存在lim a n，lim b n的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由 .n n8. 设 f ( x) 是定义域在[ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（ l ）求证 f (x) 在[ 1, 1] 上是减函数；（ ll ）如果 f ( x c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 的取值范围；（ lll ）证明若 1 c 2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9.2 *已知函数 f （ x）＝ ax ＋bx＋ c，其中 a∈ N ，b∈ N， c∈Z。

（1）若 b>2a，且 f （ sinx ）（ x∈R）的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f （ x）的最小值；（2）若对任意实数 x，不等式 4x≤ f （ x）≤ 2（ x2＋ 1）恒成立，且存在 x0，使得 f （ x0）<2（ x02＋ 1）成立，求 c 的值。

10.已知函数 f (x) x44x 3ax 21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1 ， 2] 上单调递减；（1）求 a 的值；（2）求证： x=1 是该函数的一条对称轴；（ 3）是否存在实数b，使函数g (x) bx 2 1的图象与函数f(x) 的图象恰好有两个交点？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 .11. 定义在区间（0，）上的函 f(x) 满足：（1） f(x) 不恒为零；（ 2）对任何实数 x、 q, 都有f ( x q) qf ( x) .（ 1）求证：方程f(x)=0 有且只有一个实根；（ 2）若 a>b>c>1, 且 a、 b、 c 成等差数列，求证：f ( )? f( )f2 ( )；a c b（ 3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有 f (m) f (n) 2 f ( m n) ，求证： 3 m 22212. 已知三次函数 f ( x) x3 ax 2 bx c在 y 轴上的截距是2，且在(, 1), ( 2, ) 上单调递增，在（－1，2）上单调递减 .( Ⅰ ) 求函数 f (x)的解析式；f (x)(m 1) ln( x m) ，求 h(x) 的单调区间.( Ⅱ ) 若函数h(x)2)3( x13. 已知函数f ( x) 3x3( a 1)（ a 0 且 a 1）．a x(1) 试就实数 a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2) 已知当 x 0 时，函数在 (0, 6) 上单调递减，在 ( 6, ) 上单调递增，求 a 的值并写出函数的解析式；(3) （理）记 (2) 中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线 l ，使得 l 为曲线 C 的对称轴？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由．( 文 ) 记(2) 中的函数的图像为曲线C ，试问曲线 C 是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．14. 已知函数 f (x) log a x 和 g (x) 2log a (2 x t2),( a 0, a 1,tR) 的图象在 x 2 处的切线互相平行 .( Ⅰ ) 求 t 的值；（Ⅱ）设 F ( x) g ( x) f (x) ，当 x1,4 时， F ( x) 2 恒成立，求 a 的取值范围 .15. 设函数 f ( x) 定义在 R 上，对任意的 m, n R ，恒有 f (m n) f ( m) f (n) ，且当 x 1 时， f (x) 0 。

试解决以下问题： （ 1）求 f (1)的值，并判断 f ( x) 的单调性；（ 2）设集合 A ( x, y) | f ( x y) f ( x y) 0 , B( x, y) | f (ax y 2) 0, a R ，若 A I B，求实数 a 的取值范围；（ 3）若 0 ab ，满足 | f ( a) | | f (b) | 2 | f (a b) |，求证： 3 b22216. （理科）二次函数 f(x)= x2ax b( a 、 b R)（ I ）若方程 f(x)=0 无实数根，求证：b>0；（ II ）若方程 f(x)=0 有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f( － a)=1(a 21) ；41 （ III ）若方程 f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得 f ( k).4( 文科 ) 已知函数 f(x)= ax 2bxc ，其中 aN * , bN , c Z.（ I ）若 b>2a, 且 f(sinx)(x ∈ R)的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f(x) 的最小值；（ II ）若对任意实数 x ，不等式 4xf ( ) 2( x 2 1) 恒成立 , 且存在 x 使得 f ( x ) 2( x 2 0 1) 成立，求 c 的值。

x 0 017. 定义在（ -1 ， 1）上的函数 f(x) 满足：对任意 x 、 y(-1,1) 都有。

（ I ）求证：函数 f(x) 是奇函数；（ II ）如果当时，有 f(x)>0 ，判断 f(x) 在(-1,1) 上的单调性，并加以证明；（ III ）设 -1<a<1 ，解不等式：18. 已知二次函数 f ( x) ax2bx 1(a 0,b R), 设方程 f(x) ＝ x 有两个实数根 x 1、 x 2.( Ⅰ ) 如果 x 1 2 x 2 4 ，设函数 f(x) 的对称轴为x ＝x 0, 求证 x 0>— 1;( Ⅱ ) 如果 0x 1 2 ，且 f(x) ＝ x 的两实根相差为 2，求实数 b 的取值范围 .19. 函数 f ( x) 的定义域为 ，并满足以下条件：①对任意 x R，有 f ( x)0 ；R②对任意 x 、 yR ，有 f ( xy) [ f ( x)] y；③ f ( 1) 1. 则3（ 1）求f (0)的值；（ 4 分）（ 2）求证：f (x)在 R 上是单调增函数；（ 5 分）（ 3）若a b c 0, 且 b2 ac ，求证： f ( a) f (c) 2 f (b).20.（理）已知 f (x) = In(1 + x2 ) + ax(a ≤0)（1）讨论 f ( x) 的单调性；1 1（2）证明：(1+24)(1+34)（文）设函数 f ( x) 1 ax33o, - a .（1）求证：0≤b< 1；a(1+1 ) ( * ),n ≥2其中无理数 e = 2.71828 ) .n 4 < e n∈ Nbx2 cx(a b c) ，其图象在点A(1, f (1)), B( m, f (m)) 处的切线的斜率分别为（ 2）若函数 f (x) 的递增区间为 [ s,t ] ，求 [ s - t ] 的取值范围 .21. 设函数1 32 23 2 (0 1)f ( x) x ax a（ 1）求函数 f(x) 3f(x)的单调区间，并求函数的极大值和极小值；（ 2）当 x∈[a+1, a+2] 时，不等 | f ( x) | a ，求a的取值范围.22. 已知函数f (x) x 16 7x ，函数 g(x ) 6 ln x m .x 1（1）当x 1时，求函数 f(x) 的最小值；（ 2）设函数 h(x)=(1 － x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x) 的图象与函数g(x) 的图象交点的个数.23. 已知二次函数 f ( x) ax2 bx c, l1 : yt2 8t(其中0 t 2.t为常数）； l 2 : x 2 .若直线1 2与函直线l 、 l 数 f （x）的图象以及l ，y 轴与函数 f （ x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.1（Ⅰ）求 a、 b、 c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于 t 的函数 S（ t ）的解析式；（Ⅲ）若 g(x) 6 ln x m, 问是否存在实数m，使得 y=f （x）的图象与 y=g（ x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.24.已知 f ( x)x(x a)( x b) ，点A(s,f(s)), B(t,f(t))(I)若 a b 1 ,求函数 f ( x)的单调递增区间；(II)若函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 满足：当|x|≤1时，有| f ( x) |≤3恒成立，求函数 f (x) 的解析表达式；2(III) 若 0<a<b,函数 f ( x)在x s 和x t 处取得极值，且 a b 2 3 ,证明： OA 与 OB 不可能垂直.25. 已知函数m x 2f ( x) m R .x(1) 设 g (x) f (x)ln x , 当 m≥14 时, 求 g(x) 在 [1,2 ] 上的最大值；2(2)若y log 1 [8 f ( x)] 在[1, ) 上是单调减函数，求实数m的取值范围 .326.( 本小题满分 12 分 )已知常数 a > 0, n 为正整数， f n ( x ) = x n–( x + a) n ( x > 0 ) 是关于 x 的函数 .(1)判定函数 f n ( x ) 的单调性，并证明你的结论 .(2)对任意n a , 证明 f ` n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)答案：x2 f (2) 4 a 0a 41. 解： (1) f ( x) a ，由题意f (2) 82a b4 ，3 3b 4令f ( x) x2 4 0 得 f ( x) 的单调递增区间为( , 2) 和 (2, ) . (2) f (x) 1 x3 4x 4 ，当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表：x 3- 4 (-4 ，-2 (-2,2) 2 (2,3) 3 -2)f ( x) Z0 ]Zf (x) 4 单28 单调递单调3 调递增 3 减4 递增 13所以 x [ 4,3] 时， f (x)max 28 . 于是f (x) m2 m 10 在 x [ 4,3] 上恒成立等价于m2 m 10 28 ，求3 3 3 3得 m ( , 3] [2, ) .2. 解： (1) P(x) = R (x) – C (x) =3 2– 5000 (x N 且 x [1, 20]); 2 分– 10x + 45x + 3240xMP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x N 且 x [1, 20]). 4 分(2) P`(x) = – 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x N 且 x [1, 20]) 7 分当 1< x < 12, P`(x) > 0, P(x)增 ,当 12 <x < 20, P`(x) < 0 , P ( x ) 减 .∴ x = 12, P(x) 取最大 ,10分 即 , 年建造 12 艘船 , 公司造船的年利 最大 .11分(3) 由 MP(x ) =– 30( x– 1)2+ 3305 (xN 且 x [1, 20]).∴当 1< x20 ， MP (x) 减 .12分MP (x) 是减函数 明 : 随着 量的增加，每艘利 与前一台比 ，利 在减少.13. 解：（ 1） f (x)5x 5x 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）（ 2）由 g 2 ( x) 5g 1 ( x) 5g 1 2 ( x)0 解得 g 1 ( x) 0或 g 1 ( x) 1即 5x 5 x 2 0 5 x 5 x 2 1或解得 x0或 x1或510 5 x 5 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）10（ 1） 由 x f ( x) 0x x 0或 x 1 ，又 (510 5 , 5 10 5 )x x 0或 x 1，当 x (55 , 55) ， g 2 ( x)0 ， g 3 ( x) 5g 2 ( x) 5g 2 2 ( x) 0 ，1010∴ 于 n2,3 ， E(55 , 510 5) ，命 成立。