高考试题汇编：坐标系与参数方程1.x 4 cost x 8cos已知曲线C1 : （t 为参数），C2 （为参数），y 3 sint y 3sin（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P 对应的参数为t ，Q为C2上的动点，求PQ 中121 2x 3 2t点M 到直线C3 : x 3 2t（t 为参数）距离的最小值.3 y 2 t解：（1）曲线C1的普通方程为（x 4）2（y 3）2 1，表示以点（ 4,3）为圆心，半径r 1 的圆；22曲线C2的普通方程为x y 1，表示中心是坐标原点，焦点在x 轴264 9上，长半轴长是8 ，短半轴长是3的椭圆；2）点P的坐标为（ 4,4），设点Q的坐标为（8cos ,3sin ），8 5855，当且仅当sin（） 1时，取最小结：本题主要考查1）参数方程与普通方程的互化；2）动点到直线距离的最值问题；28 8 5所以点 M 的坐标为 2 4cos ,2 32sin ，直线 C 3的普通方程为 x 2y 70，所以点 M 到直线 C 3 的距离为 d2 4cos 4 3sin 7513 5sin 5小值 8 5 .5x 1 tcosx cos 已知直线 C 1:（ t 为参数），圆C 2 : （ 为参数），y tsiny sinx cos1）当时，求 C 1和 C 2的交点坐标；2）过坐标原点 O 作 C 1的垂线，垂足为 A ,P 为OA 的中点.当 变化 时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 .x 解：（1）当时，则直线 C 1 : 31y1 1t 2，3t ，2 其普通方程为 3x y3 0，圆 C 2的普通方程为y 2 1，联立得 x 2 3（x 1）21，解得x 1 1 y 1 0x2y 212， 3 21 所以 C 1和C 2的交点坐标为 （1,0） ，（1,223).2）设垂足 A 点坐标为 1 tcos ,tsin ，则 OA 1 tcos ,tsin ，直线 C 1 的方向向量为 （cos ,sin ) ，所以 cos tcos 2tsin 20 ，则 t cos ， 所以 A 点坐标为 1 cos 2cos sin ，则 P 点坐标为1 cos2 sin2 ，4,4，所以 P 点轨迹的参数方程为1 cos24( 为参数)， sin2 4P 点轨迹的普通方程为 （x14)221 y16 ，11 表示以 14,0 为圆心，半径为 144的圆.（1）求曲线交点坐标； （2）求动点的轨迹方程；3.x 2cos在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为（ 为参y 2 2sin数）.M 是C 1上的动点， P 点满足OP 2OM ，P 点的轨迹为曲线 C 2.（1）求 C 2的方程；（2）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线3与C 1异于极点的交点为 A ，与C 2的异于极点的交点为 B ，求 AB . 解：（1）设 M 点坐标为 (2cos ,2 2sin ）， P 点坐标为x,y ，则 x,y 2(2cos ,2 2sin ) ，所以 C 2的参数方程为 x 4cos (为参数），y 4 4sinC 2 的普通方程为 x 2 2(y 4) 2 16，（2）方法一： C 1 的极坐标方程为 2 4 sin 0 ，C 2的极坐标方程为 28 sin 0 ，将分别代入 C 1 ，C 2的极坐标方程， 得 A 2 3, ，B （4 3, ），3 1 23 3AB 4 3 2 3 2 3.方法二：射线 的直角坐标方程为 y 3x （ x 0）3将 y 3x 分别代入 C 1 ， C 2的直角坐标方程，得 A 3,3 ，B （2 3,6）22所以 ABx 1 x 2 2 y 1 y 2 2 2 34.x 2cos已知曲线 C 1 的参数方程是（ 为参数），以坐标原点为极y 3sin点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C ，D依逆时针排列，点 A 的极坐标为 2, 3（1）求点 A ， B ， C ， D 的直角坐标；2 2 2 2（2）设 P 为C 1上任意一点，求 PA 3 PB 4 PC 2 PD 2的取值范 围. 解：（1）点 A 的直角坐标为 （1, 3） ，点B 的极坐标为 （2,5 6 7 8 9 10 11 ），点 B 的直角坐标为 （ 3,1），6 点C 的极坐标为 （2,12 ），点 C 的直角坐标为 （ 1, 3），311点D 的极坐标为 （2,11 ），点 D 的直角坐标为 （ 3, 1），6（2）设 P 点坐标为 （2cos ,3sin ） ，232 20sin 2 32,523 2 2 2PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围为 32,52 .（1）极坐标的几何意义；（2）利用参数方程设动点的坐标，求最值；x 4 5cost5.已知曲线 C 1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点y 5 5sint为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 2的极坐标方程为 2sin .（ 1）把 C 1的参数方程化为极坐标方程； （2）求 C 1与C 2交点的极坐标（ 0， 02 ）.解（ 1）曲线 C 1的普通方程为 （x 4）2 （y 5）2 25， 小结：本题主要考查则 PA 22PB 22PC22PD22 (2cos 1) 2(3sin 3)2 (2cos 3)2 (3sin 1)2 2(2cos 1)2 (3sin3) 2 (2cos3)2 (3sin 1)2即 x 2 y 2 8x 10y 16 0 ，线 C 1 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin2)联立得 4sin 28sin2 20sin 216 0，则 cos2 sin2 1 2sin 2 1 0，4所以 4或 2，故C 1与C 2交点的极坐标为 2, 4 ，（2, 2）. 方法二：曲线 C 1 的普通方程为 x 22y 2 8x 10y 16 0 ， 曲线 C 2 的普通方程为 x 2 y 2 2y 0，x 1 x 0 联立解得x 1或x 0，y 1 y 2故 C 1与C 2交点的极坐标为 2,4 ， (2,2).小结：本题主要考查（1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的 相互转化；（2）已知极坐标方程，求区间交点坐标；x 2cost6.已知动点 P ，Q 都在曲线 C : （ t 为参数），对应参数分别y 2sint为t 与t 2 （0 2 ），M 为PQ 的中点.（ 1）求 M 的轨迹参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是 否过坐标原点 .解 ：（ 1 ） 点 P 的 坐 标 为 2cos ,2sin ， 点 Q 的 坐 标 为2cos2 ,2sin2 ，点 M 的坐标为 cos cos2 ,sin sin22）将 M 到坐标原点的距离16 0 ；所以 M 的轨迹参数方程为x cos y sincos2(sin2为参数，22d cos cos2 (sin sin2 ) 2 2cos（02）因为当 时，d 0，所以 M 的轨迹过坐标原点 .小结：本题考查（1）动点轨迹的参数方程； （2）判断曲线是否过定点；7.在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 x t 1x t 1( t 为参数)， y 2t2x 2tan （ 为参数）y 2tan普通方程，并求出它们公共点的坐标 .线 C 的参数方程为 .试求直线 l 和曲线 C 的 解：直线 l 的普通方程为2x y 2 0 ， 线 C 的普通方程为 y 2 2x ，1 xx 联立解得 x2 或 x y1y小结：本题主要考查 2 ，公共点的坐标为21 12, 1 ，(2,2).8.1）参数方程与普通方程的互化； 2）求曲线的交点坐标； t 2t22已知曲线 C: x y 1，直线 l: x4 9 y（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；t 为参数） .2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大值与最小值 .9.建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0, .2（1）求 C 的参数方程；（2）设点 D 在C 上，C 在 D 处的切线与直线 l : y 3x 2垂直，根 1 cos 13 D 的坐标为 3, 3 .22小结：本题主要考查 （1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的 相互转化； （2）确定切点坐标；10. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 C 1 :x 2 ， 圆 C 2 :（x 1）2 （y 2）21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（1）求 C 1， C 2的极坐标方程； （2）若直线 C 3 的极坐标方程为 （R ），设C 2与C 3 的交点为 4M ， N ，求 C 2MN 的面积 .解：（1）直线 C 1 的极坐标方程为cos 2 ， 圆 C 2 的极坐标方程为 22 cos 4 sin 4 0 ， （ 2）将代入 2 cos44 sin 4 0 ，据（ 1）中你得到的参数方 程，确定 D 的坐标 .解：（1）半圆 C 的直角坐标方程为 x 2 y 22x 0 ，（ y 0）， 即 (x 1) 2 y 21，( y0），x半圆 C 的参数方程为 1 cos为参数， 0,），ysin（2）设点 D 的坐标为 （1cos ,sin） ，（ 0, ），则直线 CD 与直线 l 平行，sin故 03 tan ， 所以得 2 3 2 4 0，解得 1 2 2， 2 2，故 1 2 2， 即 MN 2.由于 C 2的半径为1，所以 C 2MN 为等腰直角三角形， 1C 2MN 的面积为 . 22小结：本题主要考查（1）极坐标方程和直角坐标方程的互化； （2）求三角形的面积；x tcos11.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 : （ t 为参数，t 0），y tsin其中 0 .在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 : 2sin ，C 3 : 2 3cos .（1）求 C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于 A ，C 1与C 3相交于 B ，求 AB 的最大值 .因此 A 的极经为 A 2sin ， B 的极经为 B 2 3cos ，AB A B 2sin 2 3cos 4sin( ) 4， 3当 5 时， AB 取最大值 4. 小结：本题主要考查 （1）求曲线的交点坐标；解：（1）曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 y 2 2y 0 ，线 C 3 的直角坐标方程为 2 3x 0 ，联立解得或32，3 2所以 C 2与 C 3交点的直角坐标为 0,0 ， 2） 曲线 C 1 的极坐标方程为0），其中02）求线段的最值；（2） P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角 坐标.解：（1）⊙ O 的直角坐标方程为 x 2 y 2 2 3y 0，x 2 （y 3）2 3 圆心为 （0, 3）（2）设 P 点坐标为（3 12t,23t ），正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 （5, 3） ，直线l 与曲线 C 的交点为 A ，B ， 求 MA MB 的值 .解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 y 2 2x 0，（2）设直线 l 与曲线 C 的交点 A ， B 对应的参数分别为为 t 1，t 2， 联立得 （5 3t ）2 （ 3 1t ）2 2（5 3t ） 0，2 2 2即t 2 5 3t 18 0，则 t 1t 2 18，所以 MA MB t 1t 2 18. 小结：本题主要考查 （1）极坐标方程与直角坐标方程的互化；x 12.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y 参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， ⊙ O 的极坐标方程为 2 3sin .（1）写出⊙ O 的直角坐标方程； 3t 2 3tt 为 x 13.已知直线 l :y5 3t 2 t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的 2（2）直线参数方程中参数的几何意义及其应用；12 3P到圆心C的距离d 3 1t 3t 3 t2 12 12，22当t 0时，P到圆心C的距离取最小值12.小结：本题主要考查1）极坐标方程与直角坐标方程的互化；2）求线段的最值；。