第十五章 坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1. 当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0.由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425). (2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=|3cosθ+4sinθ-a -4|√17.当a ≥-4时,d 的最大值为√17.由题设得√17=√17,所以a=8; 当a<-4时,d 的最大值为-a+1√17.由题设得-a+1√17=√17,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16考纲解读考点 内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度1.坐标系与极坐标 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质掌握2017课标全国Ⅱ,22;2016课标全国Ⅱ,23; 2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12;2014安徽,4解答题 ★★★2.参数方程 了解参数方程及参数的意义,能掌握2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C; 解答题 ★★★借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2016课标全国Ⅲ,23 2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23;2014北京,3分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.五年高考考点一 坐标系与极坐标1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A 在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 12.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos (θ-π6)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 . 答案 23.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.解析 (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3.当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√144cos 2α-44.(8分) 由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153.(9分)所以l 的斜率为√153或-√153.(10分)5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积.解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3√2ρ+4=0,解得ρ1=2√2,ρ2=√2.故ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2. 由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.(10分)教师用书专用(6—21)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是{x =t +1,y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.√14B.2√14C.√2D.2√2答案 D7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4答案 A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1答案 B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ-√3ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B 两点,则|AB|= . 答案 210.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y 2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t (t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案 (2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C:{x =2+cosα,y =1+sinα(α为参数)交于A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 . 答案 √2ρcos (θ+π4)=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l 的参数方程为{x =2+t,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= . 答案 √514.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1)15.(2014天津,13,5分)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案 316.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案 117.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为{x =acosφ,y =bsinφ(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ+π4)=√22m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 . 答案√6318.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为{x =√2cost,y =√2sint (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 . 答案 ρcos θ+ρsin θ=219.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解析 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x,y),依题意,得{x =x 1,y =2y 1,由x 12+y 12=1得x 2+(y 2)2=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为{x =cost,y =2sint (t 为参数).(2)由{x 2+y 24=1,2x +y -2=0解得{x =1,y =0或{x =0,y =2. 不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1),所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12(x -12), 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sinθ-2cosθ.20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5cost,y =5+5sint (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析 (1)将{x =4+5cost,y =5+5sint 消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y=0. 由{x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0, 解得{x =1,y =1或{x =0,y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π4),(2,π2). 21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos (θ-π4)=2√2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标;(2)设P 为C 1的圆心,Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为{x =t 3+a,y =b2t 3+1(t ∈R 为参数),求a,b 的值. 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解{x 2+(y -2)2=4,x +y -4=0得{x 1=0,y 1=4,{x 2=2,y 2=2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4,π2),(2√2,π4).(6分) 注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ 的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b 2x-ab2+1,所以{b2=1,-ab 2+1=2,解得a=-1,b=2.(10分)考点二 参数方程1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t,y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,y =2√2s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 解析 直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2√2s), 从而点P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√1+(-2)=√2)2√5.当s=√2时,d min =4√55. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√55. 2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 解析 (1)C 1的普通方程为x 23+y 2=1. C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(√3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=√3cosα+sinα√2=√2|sin (α+π3)-2|.(8分)当且仅当α=2k π+π6(k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为√2,此时P 的直角坐标为(32,12).(10分) 3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+12t,y =√32t(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解析 (1)由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2√3y, 所以x 2+(y-√3)2=3. (2)设P (3+12t,√32t),又C(0,√3),则|PC|=√(3+12t)2+(√32t -√3)2=√t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C:x 24+y 29=1,直线l:{x =2+t,y =2-2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 d=√55|4cos θ+3sin θ-6|.则|PA|=dsin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55. 5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.解析 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.教师用书专用(6—13)6.(2014北京,3,5分)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y=2x 上B.在直线y=-2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案 B7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程是{x =√t,y =√3t 3(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2,则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案 (√3,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案 39.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2+y 2-x=0的参数方程为 .答案 {x =cos 2θy =sinθcosθ(θ为参数)10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =√32t(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长. 解析 椭圆C 的普通方程为x 2+y 24=1.将直线l 的参数方程{x =1+12t,y =√32t代入x 2+y 24=1,得(1+12t)2+(√32t )24=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-167.所以AB=|t 1-t 2|=167.11.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为{x =a -2t,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. 解析 (1)直线l 的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d=|-2a|√5≤4,解得-2√5≤a ≤2√5. 12.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1-√22t,y =2+√22t(t 为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,求线段AB的长.解析 将直线l 的参数方程{x =1-√22t,y =2+√22t代入抛物线方程y 2=4x,得(2+√22t)2=4(1-√22t),解得t 1=0,t 2=-8√2.所以AB=|t 1-t 2|=8√2.13.(2013福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为(√2,π4),直线l 的极坐标方程为ρcos (θ-π4)=a,且点A 在直线l 上. (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系.解析 (1)由点A (√2,π4)在直线ρcos (θ-π4)=a 上,可得a=√2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆C 的圆心为(1,0),半径r=1, 因为圆心C 到直线l 的距离d=1√2=√22<1, 所以直线l 与圆C 相交.三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 坐标系与极坐标1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=1,圆C 的圆心是C (1,π4),半径为1,求: (1)圆C 的极坐标方程;(2)直线l 被圆C 所截得的弦长.解析 (1)因为圆C 的圆心是C (1,π4),半径为1, 所以转化成直角坐标为C (√22,√22),半径为1,所以圆的方程为(x -√22)2+(y -√22)2=1,转化成极坐标方程为ρ2-√2ρcos θ-√2ρsin θ=0. (2)已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=1, 所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=1,即x+y-√2=0.直线l 的方程为x+y-√2=0,圆心C (√22,√22)满足直线的方程,所以直线经过圆心,所以直线l 被圆C 所截得的弦为圆的直径. 由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是{x =m +√22t,y =√22t(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l 的参数方程化成普通方程;(2)当m=0时,直线l 与曲线C 异于原点O 的交点为A,直线ρ=-π3与曲线C 异于原点O 的交点为B,求三角形AOB 的面积. 解析 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ. 转化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x.直线l 的参数方程为{x =m +√22t,y =√22t(t 为参数),转化为直角坐标方程为y=x-m. (2)当m=0时,A (2√2,π4),B (2,-π3), 所以S △AOB =12×2×2√2sin (π3+π4)=√3+1. 3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程;(2)已知圆C 与x 轴交于A,B 两点,直线l:y=2x 关于点M(0,m)(m ≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P 使得∠APB=90°,求实数m 的最大值.解析 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x 2+y 2-4x=0,即圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4.(2)l:y=2x 关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB 为圆C 的直径,故直线l'上存在点P 使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C 有公共点,故√5≤2,于是,实数m 的最大值为√5-2.4.(人教A 选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acos θ(a>0),直线l:ρcos (θ-π3)=4,C 与l 有且只有一个公共点. (1)求a 的值;(2)若O 为极点,A,B 为曲线C 上的两点,且∠AOB=π3,求|OA|+|OB|的最大值.解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x-2a)2+y 2=4a 2(a>0),曲线C 表示以(2a,0)为圆心,2a 为半径的圆. l 的直角坐标方程为x+√3y-8=0. 由题意知直线l 与圆C 相切,则|2a -8|2=2a,解得a=43(舍负).(2)不妨设A 的极角为θ,B 的极角为θ+π3,则|OA|+|OB|=163cos θ+163cos (θ+π3)=8cos θ-8√33sin θ=16√33cos (θ+π6),所以当θ=-π6时,|OA|+|OB|取得最大值,为16√33.考点二 参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,l 与C 相交于A 、B 两点. (1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程; (2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析 (1)直线l 的参数方程为{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C 的极坐标方程是ρ2-6ρcos θ+1=0, 转化为直角坐标方程为x 2+y 2-6x+1=0.(2)把直线l 的参数方程{x =√22t,y =-1+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2-6x+1=0,得到t 2-4√2t+2=0,A 点对应的参数为t 1,B 点对应的参数为t 2,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=2.6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=asin θ(a ≠0). (1)求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍,求a 的值.解析 (1)直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0. 由圆C 的极坐标方程为ρ=asin θ(a ≠0),可得ρ2=a ρsin θ,根据ρsin θ=y,ρ2=x 2+y 2, 可得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-ay=0, 即x 2+(y -a 2)2=a 24.(2)由(1)可知圆C 的圆心为(0,a 2),半径r=a 2, 直线方程为4x+3y-8=0, 圆心到直线l 的距离d=|3a2-8|5=(3a -1610), 直线l 截圆C 的弦长为√3a2=2√r 2-d 2,解得a=32或a=3211,故得直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍时,a 的值为32或3211.7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别是{x =4t 2,y =4t (t 是参数)和{x =cosφ,y =1+sinφ(φ为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)射线OM:θ=α(α∈[π6,π4])与曲线C 1的交点为O,P,与曲线C 2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值. 解析 (1)C 1的普通方程为y 2=4x,C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)由(1)可得C 1的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ,与直线θ=α联立可得:ρ=4cosαsin 2α,即OP=4cosαsin 2α,同理可得OQ=2sin α.所以|OP|·|OQ|=8cosαsinα=8tanα,令f(α)=8tanα,易知f(α)在α∈[π6,π4]上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max =8tan π6=8√3.B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分 时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:x 23+y 24=1,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6. (1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程;(2)在曲线C 1上求一点P,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值. 解析 (1)曲线C 1:x 23+y 24=1,设θ为参数,令x=√3cos θ,y=2sin θ, 则曲线C 1的参数方程为{x =√3cosθ,y =2sinθ(θ为参数).又直线l:ρ(2cos θ-sin θ)=6, 即2ρcos θ-ρsin θ-6=0, 化为直角坐标方程是2x-y-6=0. (2)设P(√3cos θ,2sin θ),则P 到直线l 的距离d=|2√3cosθ-2sinθ-6|√2+(-1)=|4cos (θ+π6)-6|√5,∴cos (θ+π6)=-1,即P (-32,1)时,点P 到直线l 的距离最大,最大值为√5=2√5.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是{x =3+5cosα,y =4+5sinα(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设l 1:θ=π6,l 2:θ=π3,若l 1,l 2与曲线C 分别交于异于原点的A,B 两点,求△AOB 的面积. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程是{x =3+5cosα,y =4+5sinα(α为参数),∴将C 的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25, 即x 2+y 2-6x-8y=0.(2分)∴C 的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.(4分) (2)把θ=π6代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3√3, ∴A (4+3√3,π6).(6分)把θ=π3代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4√3, ∴B (3+4√3,π3).(8分) ∴S △AOB =12ρ1ρ2sin ∠AOB=12×(4+3√3)×(3+4√3)sin (π3-π6)=12+25√34.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+tcosφ,y =1+tsinφ(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 的方程为ρ=4cos θ. (1)求l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)当φ∈(0,π)时,l 与C 相交于P,Q 两点,求|PQ|的最小值. 解析 (1)由直线l 的参数方程{x =3+tcosφ,y =1+tsinφ(t 为参数),消去参数t,得(x-3)sin φ-(y-1)cos φ=0,即直线l 的普通方程为xsin φ-ycos φ+cos φ-3sin φ=0. 由圆C 的极坐标方程ρ=4cos θ,得ρ2-4ρcos θ=0(*).将{ρcosθ=x,ρ2=x 2+y 2代入(*)得,x 2+y 2-4x=0. 即圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4. (2)将直线l 的参数方程代入(x-2)2+y 2=4, 得t 2+2(cos φ+sin φ)t-2=0. 设P,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-2(cos φ+sin φ),t 1t 2=-2. 所以|PQ|=|t 1-t 2| =√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2 =2√3+2sinφcosφ =2√3+sin2φ,因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π), 所以当φ=3π4,即sin 2φ=-1时,|PQ|取得最小值2√2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =2cosφ,y =2+2sinφ(φ为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的普通方程;(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π6)=5√3,射线OM:θ=π6与圆C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长. 解析 (1)因为圆C 的参数方程为{x =2cosφ,y =2+2sinφ(φ为参数),所以圆心C 的坐标为(0,2),半径为2,圆C 的普通方程为x 2+(y-2)2=4.(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x 2+(y-2)2=4, 得圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.设P(ρ1,θ1),则由{ρ1=4sin θ1,θ1=π6,解得ρ1=2,θ1=π6. 设Q(ρ2,θ2),则由{2ρ2sin (θ2+π6)=5√3,θ2=π6,解得ρ2=5,θ2=π6.所以|PQ|=3.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C 的参数方程为{x =-1+√2cosα,y =1+√2sinα(α为参数),直线l 过点(-1,0),且斜率为12,射线OM 的极坐标方程为θ=3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q,求线段PQ 的长. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程为{x =-1+√2cosα,y =1+√2sinα(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0, 即曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ-π4). ∵直线l 过点(-1,0),且斜率为12, ∴直线l 的方程为y=12(x+1),∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0. (2)当θ=3π4时,|OP|=2√2sin (3π4-π4)=2√2,|OQ|=12×√22+√22=√23, 故线段PQ 的长为2√2-√23=5√23.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C 与直线l 交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值. 解析 (1)圆C 的方程为ρ=6sin θ, 转化为直角坐标方程为x 2+y 2-6y=0.(2)证明:点P(1,2),圆C 与直线l 交于点A,B,把直线l 的参数方程{x =1+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数)代入x 2+y 2-6y=0中,整理得t 2+2(cos α-sin α)t-7=0,设t 1和t 2分别为A 和B 对应的参数,则t 1·t 2=-7(定值), 故|PA|×|PB|=|t 1·t 2|=7为定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφ,y =sinφ,其中φ为参数,曲线C 2:x 2+y 2-2y=0,以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C 1,C 2分别交于点A,B(均异于原点O). (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)当0<α<π2时,求|OA|2+|OB|2的取值范围. 解析 (1)C 1的普通方程为x 22+y 2=1,C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ-2=0, C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA|2=21+sin 2α,联立θ=α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB|2=4sin 2α, 则|OA|2+|OB|2=21+sin 2α+4sin 2α=21+sin 2α+4(1+sin 2α)-4.令t=1+sin 2α,则|OA|2+|OB|2=2t+4t-4,当0<α<π2时,t ∈(1,2). 设f(t)=2t+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增, ∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosα,y =sinα-cosα(α为参数).(1)求曲线C 的普通方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的方程为√2ρsin (π4-θ)+12=0,已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,求|AB|.解析 (1)曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosα,y =sinα-cosα(α为参数),sin α=x+y 2,cos α=x -y2, 普通方程为(x+y 2)2+(x -y 2)2=1, 化简得x 2+y 2=2.(2)由√2ρsin (π4-θ)+12=0,知ρ(cos θ-sin θ)+12=0,化为普通方程为x-y+12=0,圆心到直线l 的距离d=√24,由垂径定理得|AB|=√302.5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角; (2)设点P(0,2),l 和C 交于A,B 两点,求|PA|+|PB|.解析 (1)由{x =3cosα,y =sinα(α为参数)消去参数α,得x 29+y 2=1,即曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1,由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2,①将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入①得y=x+2, 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsinπ4(t 为参数),即{ x =√22t,y =2+√22t(t 为参数),将其代入x 29+y 2=1并化简得5t 2+18√2t+27=0,Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0.设A,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-18√25<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=18√25. 6.(2017湖南长郡中学六模,22)已知曲线C 1:{x =-4+cost,y =3+sint (t 为参数),C 2:{x =8cosθ,y =3sinθ(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t=π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线C 3:{x =3+2t,y =-2+t (t 为参数)距离的最小值.解析 (1)C 1:(x+4)2+(y-3)2=1,C 2:x 264+y 29=1,C 1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2表示中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=π2时,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ),故M (-2+4cosθ,2+32sinθ),又C 3的普通方程为x-2y-7=0,则M 到C 3的距离d=√55|4cos θ-3sin θ-13|=√55|3sin θ-4cos θ+13|=√55|5(sin θ-φ)+13|其中φ满足tan φ=43,所以d 的最小值为8√55.。