坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）命题：靳建芳1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C :452x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系．2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数ααα⎩⎨⎧+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点。

（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。

3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1cos 2x y ααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），在极坐标系中,曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）求曲线2C 的普通方程；（2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长．4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρcos sin 24+=。

（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为23sin ρθ=.（Ⅰ）写出的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.7．已知直线l ：35132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|?|MB|的值．8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2M π．以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点．（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积．9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值．10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为()θθρsin cos 2+=，斜率为3的直线l 交y 轴与点()1,0E ．（1）求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求EB EA +的值．11．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.12．选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）（参考答案）1．（Ⅰ） 1:C 23y x =-，2:C 35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数） ；（Ⅱ）相交.解析：（Ⅰ）∵4,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩，∴4t x =-，代入52y t =+得，52(4)y x =+-，即23y x =-．∴曲线1C 的普通方程是23y x =-．将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的方程26cos 10sin 90ρρθρθ--+=，得2261090x y x y +--+=，即 22(3)(5)25x y -+-=．设35cos x α-=，55sin y α-=得曲线2C 的参数方程：35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线1C 是经过点(4,5)P 的直线，曲线2C 是以(3,5)O '为圆心半径为5r =的圆．∵1PO r '=<，∴点(4,5)P 在曲线2C 内，∴曲线1C 和曲线2C 相交．2．（Ⅰ）16)4(22=-+y x（Ⅱ）解：（Ⅰ）设),(y x P ，则由条件知)2,2(yx M 。

因为点M 在曲线1C 上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x，即 ⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 。

化为普通方程为16)4(22=-+y x ，即为曲线2C 的普通方程。

（Ⅱ）直线l 的方程为2)4sin(=+πρx ，化为直角坐标方程为02=-+y x 。

由（Ⅰ）知曲线2C 是圆心为)4,0(，半径为4的圆，因为圆2C 的圆心到直线l 的距离2224=-=d ，所以142222=-=d r AB 。

3．（1）2y x =+．（2）16．解析：（1）将sin()4πρθ-=sin cos 2,ρθρθ-=2y x ∴=+①（2）将1C 的参数方程化为普通方程得：28x y =②。

所以直线经过抛物线的焦点。

由①，②联立消去x 得：21240y y -+=。

1212y y ∴+= 1216AB y y p ∴=++=．4．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x +=;（Ⅱ）3. 解析：解：（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x +=（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离d ==≥ 当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时，Q 点到直线l。

5．（Ⅰ）(223x y +-=；（Ⅱ）(3,0).试题解析：（Ⅰ）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=（Ⅱ）设13,22P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则PC ==0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).6．（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分 （Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2C MN的面积o 11sin 452⨯=12.7．（1）22(1)1x y -+=；（2）18.解析：（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；（2）直线l：512x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），普通方程为y x =，在直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=，由切割线定理，可得2||||||18MT MA MB =⋅=．8．（1）x y =2，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122；（2）2． 解析：（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0cos sin 2=-θθρ得θρθρcos sin 22=．所以x y =2即为曲线C 的直角坐标方程； 点M 的直角坐标为)10(，，直线l 的倾斜角为43π，故直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 22122（t 为参数） （Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ，01024)23(2>=⨯-=∆， 设B A ,对应的参数分别为21t t 、，则⎩⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t 又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到B A ,两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA9．（Ⅰ）曲线C ：()20y ax a =>;l ：2y x =-（Ⅱ）a 的值为2.解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程()2sin cos 0a a ρθθ=>，可化为()22sin cos 0a a ρθρθ=>，即()20y ax a =>；直线l 的参数方程为222242x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是2y x =-；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程()20y ax a =>中，得；设A 、B 两点对应的参数分别为t1，t2，则)()121228,48t t a t t a ++⋅=+；∵2PA PB AB⋅=，∴()21212t tt t -=⋅，即()212125t t t t +=⋅；∴)()228208a a ⎤+=+⎦，解得：2a =，或8a =-（舍去）；∴a 的值为2．10．解析：（1）由)sin (cos 2θθρ+=得()θρθρρsin cos 22+=，即y x y x 2222+=+即()()21122=-+-y xl 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t 为参数）；（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入()()21122=-+-y x 得012=--t t 解得2511+=t ，2512-=t ，则52121=-=+=+t t t t EB EA11．（Ⅰ）=2cos ρθ（Ⅱ）2解析：（Ⅰ）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11=1=3πρθ， 设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22=3=3πρθ， 所以||2PQ =12．（1）40x y -+=;（2）(1)直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin cos θθ-=, 即sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;(2)P 为椭圆22139x y C +=:上一点,设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d =所以当0cos(60)1α+=-时,d的最小值为。