中考数学复习:函数与方程、不等式的关系
1.函数与方程的关系
(1)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解⇔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标的值;
(2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=mx+n(am≠0)的解⇔抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与直线y=mx+n(m≠0)交点的横坐标的值.
2.函数与不等式的关系
(1)关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集⇔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于x轴上方的所有点的横坐标的值;
(2)关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集⇔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于x轴下方的所有点的横坐标的值;
(3)关于x的不等式ax2+bx+c>mx+n(ma≠0)的解集⇔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)上方的所有点的横坐标的值;
(4)关于x的不等式ax2+bx+c<mx+n(ma≠0)的解集⇔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)位于直线y=mx+n(m≠0)下方的所有点的横坐标的值.
例题讲解
例1在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l:y=-2x+2的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的表达式.
解:如图,因为抛物线的对称轴是x=1,且直线l与直线AB关于对称轴对称.
所以抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.
又因为抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.
当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,则抛物线过点(-1,4),将(-1,4)代入y=mx2-2mx-2,得m+2m-2=4,则m=2.所以抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.
例2已知y=ax²+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y满足:当-1≤x≤1时,-1≤y≤1,且抛物线经过点A(1,-1)和点B(-1,1).求a的取值范围.
解:因为抛物线y=ax²+bx+c经过A(1,-1)和点B(-1,1),代入得a+b+c=-1,a-b+c=1,
所以a+c=0,b=-1,则抛物线y=ax²-x-a,对称轴为x=1
2a
.
①当a<0时,抛物线开口向下,且x=1
2a
<0,
如图可知,当1
2a
≤-1时符合题意,所以-
1
2
≤a<0.
当-1<1
2a
<0时,图像不符合-1≤y≤1的要求,舍去.
②当a>0时,抛物线开口向上,且x=1
2a
>0.
如图可知,当1
2a
≥1时符合题意,所以0<a≤
1
2
.
当0<1
2a
<1时,图像不符合-1≤y≤1的要求,舍去.
综上所述,a的取值范围是-1
2
≤a<0或0<a≤
1
2
.
例3在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,'b)给出如下定义:
1 '
1
b a
b
b a ≥
⎧
=⎨
-<
⎩
,
则称点Q为点P的限变点.
例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(﹣2,5)的限变点的坐标是(﹣2,﹣5).(1)若点P在函数y=﹣x+3(﹣2≤x≤k,k>﹣2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2,求k的取值范围;
(2)若点P在关于x的二次函数y=x2﹣2tx+t2+t的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′<n,其中m>n.令s=m﹣n,求s关于t的函数解析式及s的取值范围.
解:(1)依题意,y=﹣x+3(x≥﹣2)图象上的点P的限变点必在函数y=
31
3-21
x x
x x
-+≥
⎧
⎨
-≤<⎩
的图象上.
∴b′≤2,即当x=1时,b′取最大值2.
当b′=﹣2时,﹣2=﹣x+3.
∴x=5.
当b′=﹣5时,﹣5=x﹣3或﹣5=﹣x+3.
∴x=﹣2或x=8.
∵﹣5≤b′≤2,
由图象可知,k的取值范围是5≤k≤8.
(2)∵y=x2﹣2tx+t2+t=(x﹣t)2+t,
∴顶点坐标为(t,t).
若t<1,b′的取值范围是b′≥m或b′<n,与题意不符.
若t≥1,当x≥1时,y的最小值为t,即m=t;
当x<1时,y的值小于﹣[(1﹣t)2+t],即n=﹣[(1﹣t)2+t].∴s=m﹣n=t+(1﹣t)2+t=t2+1.
∴s关于t的函数解析式为s=t2+1(t≥1),
当t=1时,s取最小值2,
∴s的取值范围是s≥2.
1);点B;5≤k≤8;s≥2.
进阶训练
1.若关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有两个不同的实数根m ,n (m <n ),方程x 2+ax
+b =1有两个不同的实数根p ,q (p <q ),则m ,n ,p ,q 的大小关系为( )
A .m <p <q <n
B .p <m <n <q
C .m <p <n <q
D .p <m <q <n
B
【提示】 函数y =x 2+ax +b 和函数y =x 2+ax +b -1的图像如图所示,从而得到p <m <n
<q
解:函数y =x 2+ax +b 如图所示: x
q n m p O
2.在平面直角坐标系xOy 中,p (n ,0)是x 轴上一个动点,过点P 作垂直于x 轴的直线,交一次函数y =kx +b 的图像于点M ,交二次函数y =x ²-2x -3的图像于点N ,若只有当-2<n <2时,点M 位于点N 的上方,求这个一次函数的表达式.
y =-2x +1
【提示】 依据题意并结合图像可知,一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为-2和2,由此可得交点坐标分别为-2和2,由此可得交点坐标为(-2,5)和(2,-3)将交点坐标分别代入一次函数表达式即可
3.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图像与x轴有两个公共点,若m取满足条件的最小整数,当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是-6≤y≤4-n,求n的值
n的值为-2
【提示】根据已知可得m=1.图像的对称轴为直线x=3
2
.当n≤x≤1<
3
2
时,函数值y
随自变量x的增大而减小,所以当x=1时,函数的值为-6,当x=n时,函数值为4-n.所以n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不符合题意,舍去),则n
的值为-2。