问题4 函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(3) 已知函数零点情况求参数的步骤①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．三、知识拓展1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．2．三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．四、题型分析(一) 函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.【例1】已知函数（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是【分析】把函数（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【解析】因为0x =是函数()f x 的零点,则函数有四个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=1k 与()y g x =有三个不同的交点,由图知101k<<,所以1k >．实数k 的取值范围是是[)1+∞，、 【点评】零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数．【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得，则a 的取值范围是 ．【答案】[]1,e【解析】由题设及函数的解析式可知，所以10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ，使得有解”，即在]1,0[有解，令，则，当0>x 时，函数是增函数；所以10≤≤x ，当，即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ，故应填答案[]1,e .(二) 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数,,若对任意的12,x x ∈R ,都有成立,则实数k 的取值范围为 .【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =14；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式1|1|4k -≥,则可求出k 的取值范围.【解析】对任意的12,x x ∈R ,都有成立,即.观察的图象可知,当12x =时,函数max ()f x =14；因为,所以所以,1|1|4k -≥,解得34k ≤或54k ≥,故答案为34k ≤或54k ≥．【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视. 【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的()0,y ∈+∞恒成立，则实数x 的取值集合为________．【答案】52⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】画图可知，函数和函数连续在y 轴右边有相同的零点，令()0g y =，得y x =，代入()0f y =中，得0x =，或52x =，注意到0x >，所以实数x 的取值集合为52⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故填52⎧⎫⎨⎬⎩⎭.(三) 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视. 【例3】已知函数,其中m ,a 均为实数．(1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,恒成立,求a 的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得成立,求m 的取值范围．【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式<恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数1()g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x -1()f x <21()g x 11()gx -,整理为,由此函数在区间[3,4]上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求a 的取值范围．采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为2m （20e m<<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2(0,)m上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.【解析】（1）,令()0g x '=,得x = 1．列表如下：∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． （2）当1,0m a =<时,,(0,)x ∈+∞．∵在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数．设,∵> 0在[3,4]恒成立,∴()h x 在[3,4]上为增函数．设21x x >,则等价于,即．x（∞,1） 1 （1,∞）()g x '0 g (x )↗极大值↘设,则u (x )在[3,4]为减函数．∴在（3,4）上恒成立．∴恒成立．设,∵=,x [3,4],∴,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 22e 3． ∴a ≥322e 3,∴a 的最小值为3 22e 3． （3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．∵,(0,)x ∈+∞,当0m =时,在(0,e]为减函数,不合题意．当0m ≠时, ,由题意知()f x 在(0,e]不单调,所以20e m <<,即2em >．① 此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2(,e)m上递增, ∴(e)1f ≥,即,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥．∵1(0,e]∈,∴成立．下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③设,则在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴,∴③成立．再证()e m f -≥1．∵,∴3e 1m -≥时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【解析】（1）当时，，则，所以，所以切线方程为.（2），①当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；②当时，令，解得，列表如下：- 0 +极小值由表可知，.（i）当，即时，，所以符合题意；（ii）当，即时，，因为，且，所以，故存在，使得，所以不符题意；（iii）当，即时，，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.（3），则，①当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；②当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，，即在上单调递减，所以，即不符题意；综上，的取值范围为.五、迁移运用1．【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知函数，若，则实数的取值范围为__.【答案】【解析】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.2．【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，∴⇒，∵，∴ln e，ln ln（）＝ln ln e ln，令，则ln e ln et﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值为e2，故答案为：e2．3．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】设函数，若对任意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对任意(，0)，总存在[2，)，使得，即当任意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为极小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满足题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为极小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是。