线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若321,,ααα线性相关，则s ααα,,,21 )3(>s 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

6. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r,则 s ααα,,,21 中任意r 个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。

7. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a ▁▁▁▁。

8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，则s ααα,,,21 的秩与t βββ,,,21 的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则),,,(21s r ααα ▁▁▁▁),,,(21t r βββ 。

11. 向量组()Ta 0,0,1,11=α，()Ta 0,1,1,22=α，()Ta 1,1,1,33=α的线性关系是▁▁▁▁。

12. 设n 阶方阵(),,,,21n A ααα =321ααα+=,则=A ▁▁▁▁.13. 设T y )21,,0(1-=α，T x )0,0,(2=α，若βα和是标准正交向量，则x和y 的值▁▁▁▁.14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.三、计算题1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，T),,0(2λλβ=，问（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

4. 设T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α，t 为何值时321,,ααα线性相关，t 为何值时321,,ααα线性无关？5. 将向量组T )0,2,1(1=α，T )2,0,1(2-=α，T )2,1,0(3=α标准正交化。

四、证明题1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关。

2. 设n ααα,,,21 线性无关，证明13221,,,αααααα+++n 在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关。

3. 设βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，证明β能由s ααα,,,21 线性表示且表示式唯一。

4. 设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，求证4α不能由321,,ααα线性表示。

5. 证明：向量组)2(,,,21≥s s ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。

6. 设向量组s ααα,,,21 中01≠α，并且每一个i α都不能由前1-i 个向量线性表示),,3,2(s i =，求证s ααα,,,21 线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。

8.设s αααα,,,,210 是线性无关向量组，证明向量组s ααααααα+++020100,,,, 也线性无关。

第三章向量参考答案一、 单项选择1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题1. 52.相关3. 0≠α4.相关5.无关6.线性无关7. -18.无关 9.相等 10. ≤ 11.线性无关 12. 0 13. 21,1±=±=y x14.对应分量成比例 三、解答题1. 解：设332211αααβx x x ++=则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x其系数行列式)3(1111111112+=+++=λλλλλA（1）当3,0-≠≠λλ时，0≠A ，方程组有唯一解，所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;（2）当0=λ时，方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→000000000111，31)()(<==A r A r ，方程组有无穷多解，所以β可由3,21,ααα线性表示，但表示式不唯一;（3）当3-=λ时，方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→18000123303121，)()(A r A r ≠，方程组无解，所以β不能由3,21,ααα线性表示。