——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解及参考答案______年______月______日____________________部门(附参考答案)一、选择题1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由|x－1|<2得－2<x－1<2，∴－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．2．(20xx·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当x＝4时，|a|＝＝5当|a|＝＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．3．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(20xx·××市)等比数列{an}中，“a1<a3”是“a5<a7”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件[答案] C[解析] 在等比数列中，q≠0，∴q4>0，∴a1<a3⇔a1q4<a3q4⇔a5<a7.4．(09·陕西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.5．(文)设集合A＝{x|<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵A＝{x|0<x<1}，∴AB，故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，选A.(理)(20xx·杭州学军中学)已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A.6．(文)(20xx·北京东××区)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] x＝时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋，k∈Z，不一定有x＝.(理)“θ＝”是“tanθ＝2cos”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法1：∵θ＝为方程tanθ＝2cos的解，∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A.解法2：∵tanθ＝2cos，∴sinθ＝0或cosθ＝－，∴方程tanθ＝2cos的解集为A＝，显然A，故选A.7．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0即m＝或m＝－2，∴m＝是两直线相互垂直的充分而不必要条件．8．(20xx·浙江宁波统考)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n[答案] B[解析] 当m⊥l1，m⊥l2时，∵l1与l2是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l1，m⊥l2.9．(20xx·黑龙江哈三中)命题甲：x,21－x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x)2＝x·2x2，∴2(1－x)＝－x＋x2，解得x＝1或－2；命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，∴，∴x＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．10．(20xx·辽宁文，4)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)[答案] C[解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b，又2ax0＋b＝0，∴有f ′(x0)＝0故f(x)在点x0处切线斜率为0∵a＞0 f(x)＝ax2＋bx＋c∴f(x0)为f(x)的图象顶点的函数值∴f(x)≥f(x0)恒成立故C选项为假命题，选C.[点评] 可以用作差法比较．二、填空题11．给出以下四个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．④命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] ①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假．②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B ＝A，故②真．③由条件得，＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°，或B＝120°.故③真；④否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(－x)为奇函数，则f[－(－x)]＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．12．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①④[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] ①整数a＝2，b＝4，不是整数；②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b∉M；③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．13．(20xx·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式x＋4>m>2x－x2对一切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] ∵x＝4>4,2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴要使x＋4>m>2x－x2对一切x∈R都成立，应有1<m≤4；由f(x)＝－(7－2m)x在R上是单调减函数得，7－2m>1，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴1<m<3.14．(20xx·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：①对任意m∈Z，有f(2m)＝0；②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z，使得(a，b)⊆(2k,2k＋1)．其中所有正确结论的序号是________．[答案] ①②④[解析] 对于①，f(2)＝0，又f(2)＝2f(1)＝0，∴f(1)＝0，同理f(4)＝2f(2)＝0，f(8)＝0……f(1)＝2f()＝0，∴f()＝0，f()＝0……归纳可得，正确．对于②④当1<x≤2时，f(2x)＝4－2x，而2<2x≤4，∴当2<x≤4时，f(x)＝4－x同理，当4<x≤8时，f(x)＝8－x ……∴当2m－1<x≤2m时，f(x)＝2m－x，故②正确，④也正确．而③中，若f(2n＋1)＝9，∵2n<2n＋1≤2n＋1∴f(x)＝2n＋1－x，∴f(2n＋1)＝2n＋1－2n－1＝9，∴2n＝10，∴n∉Z，故错误．三、解答题15．已知c>0.设命题P：函数y＝logcx为减函数．命题Q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．[解析] 由y＝logcx为减函数得0<c<1当x∈时，因为f ′(x)＝1－，故函数f(x)在上为减函数，在(1,2]上为增函数．∴f(x)＝x＋在x∈上的最小值为f(1)＝2当x∈时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．得2>，解得c>12如果P真，且Q假，则0<c≤12如果P假，且Q真，则c≥1所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．16．给出下列命题：(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(3)已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．[解析] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.∴p是q的充分不必要条件．(3)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q⇒/ p.∴p是q的充分不必要条件．17．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且q≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1，由于p≠0，q≠1，∴当n≥2时，{an}为公比为p的等比数列．要使{an}是等比数列(当n∈N*时)，则＝p.又a2＝(p－1)p，∴＝p，∴p2－p＝p2＋pq，∴q＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0，且p≠1，且q＝－1.再证充分性：当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1.当n＝1时，S1＝a1＝p－1≠0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1.显然当n＝1时也满足上式，∴an＝(p－1)pn－1，n∈N*，∴＝p(n≥2)，∴{an}是等比数列．综上可知，数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q ＝－1.(理)(20xx·哈三中模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2＋lnx－ax＋a.(1)若x＝2为函数极值点，求a的值；(2)若x∈(1,3)时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)＋－a，由f ′(2)＝0得，a＝；(2)当a≤1时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝－(1＋a)≥2－2＝0成立，所以函数y＝f(x)在(1,3)上为增函数，对任意的x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以a≤1时命题成立；当a>1时，令f ′(x)＝(x－1)＋－a＝0得，x＝，则函数在(0，)上为增函数，在(，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，当a≤时，1≤≤3，则f(1)>f()，不合题意，舍去．当a>时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)<f(3)<0，不合题意，舍去．综上，a≤1.。