3 5 2 0
整理得到

k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()

3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
向量组，若
i) 向量组 1,2 ,L ,r可经 1, 2 ,L , s 线性表出；
ii) r s.
则向量组 1,2 ,L ,r必线性相关. 推论1 若向量组 1,2 ,L ,r 可经向量组 1, 2 ,L , s
线性表出，且1,2 ,L ,r 线线性无关，则 r s.
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1

1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
线性相关. 分析 我们从定义出发, 考察向量方程
k1( 1 t1 ) k 2 ( 2 t 2 ) k r ( r t r ) 0
即向量方程
k1 1 k 2 2 k r r (k1t1 k2 t2 kr tr) 0
b k11 k22 L kss ,
则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b可经
向量组A :1,2 ,L ,s线性表出.
定义
设有两个向量组A
:
a
,
1
a
,L
2
,
a
及B
m
:
b1,
b
,L
2
,
b
,
s
若B组中的每个向量都能由向量组A
线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表出.
若向量组A与向量组B能相互线性表出,则称这
两个向量组等价.
向量组线性表出性质 1.自反性，2.传递性
向量组等价性质 1.自反性，2.传递性，3.对称性
3.线性相关
定义:如果向量组 1,2 ,L ,s (s 2)中有一向量 可经其余向量线性表出，则向量组 1,2 ,L ,s
称为线性相关的.
定义：向量组 1,2 ,L ,s (s 1) 称为线性相关
()只有零解 A 0 R( A) n.
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一
个 r 级子式不等于0，且所有 r 1级子式等于0．
7 线性方程组
定理7 线性方程组有解的充分必要条件是
的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即
R( A) R( A).
7.1齐次线性方程组 解的性质；基础解系 1.基础解系的条件 2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组 任意n-r个线性无关的解向量 3.基础解系的求法
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关.
推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量
5.向量组的秩
定义 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量i1 , i2 ,L ,ir ,满足
(1)部分组 A0 : i1 ,i2 ,L ,ir 线性无关;
(2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关,
aij
，则 R( A) min(s,n).
sn
定理5 设 A (aij )nn ， 则 A 0 R( A) n ;
A 0 R( A) n
推论1 n
齐次线性方程组 aij x j 0(i 1, 2,L , n) ()
j 1
()有非零解 系数矩阵A (aij )nn的行列式 A =0 R( A) n.
a12k1 a22k 2 L a s2k s 0, L L L L L L L L L L L L L
()
a1nk1 a2nk 2 L a snk s 0,
若线性方程组()只有唯一零解,则 1, 2,L , s
线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1, 2,L , s
零解,则对任意向量 ,都有
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
即
k1( 1 t1 ) k 2( 2 t 2 )
L k r( r t r ) 0
由k1 , k 2 , , k r 不全为零得知:
A 2 2 0 ~ 0 2 2
3 5 2
0 0 0
R( A) 2 3,
故向量组 1, 2 , 3线性相关.
例2 设 1, 2,L , r线性相关,证明: 存在不全 为零的数t1, t 2,L , t r,使对任何向量 都有
1 t1 , 2 t 2 ,L , r t r (r 2)
线性相关与线性无关还可以通过线性表出 的概念来体现,即看其中有无某个向量(不是任 意一个向量), 可由其余向量线性表出? 此外, 还 应注意到 : 线性相关与线性无关是一对排中对 立的概念, 据此, 在论证某些相关性问题时, 我 们往往采用反证法.
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令k1 1 k 2 2 L k s s 0,
2）等价向量组必有相同的秩. 反之，有相同的秩的两个向量组不一定等价.
3）若向量组 1,2 ,L ,s 可经向量组 1, 2 ,L , t
线性表出，则秩{1,2 ,L ,s } 秩 {1, 2 ,L , t }
6.矩阵的秩
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
1.设 A
线性相关.
解二
1
0
1
1 2, 2 2 , 3 0 ,
3
5
2

矩阵A

(
1
,
2
,
3)


1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
1 0 1 初等行变换 1 0 1
如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 ,L , ks
使 k11 k22 L kss 0.
4.线性无关
定义：若向量组 1,2 ,L ,s 不线性相关，则称
向量组 1,2 ,L ,s为线性无关的. 即
若不存在 P 中不全为零的数 k1, k2 ,L , ks P ，使
a11 a21
as1 0
k
1

a12

M

k
2

a
22

M

L

k
s

a
s
2

M


0

M
a1n
a2n
a sn

0

整理得线性方程组
a11k1 a21k 2 L a s1k s 0,
根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无 关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量 组的秩相联系．
证明 不失一般性,设 i1 , i2 , , ir 是 1 , 2 , , s中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意 的 k (k 1,2, , s),向量组 i1 , i2 , , ir , k 线性
1 t1 , 2 t 2 , , r t r
线性相关.
例3 已知向量组 1, 2,L , s的秩是r,证明: 1, 2,L , s中任意r个线性无关的向量均构成它的
一个极大线性无关组.(习题7)
分析 证明向量组的一个部分组构成极大线性无 关组的基本方法就是：
1, 2,L
, s)
即向量 j添上一个分量后得到向量 j .若向量组A :
1,2 ,L
, s线性无关, 则向量组B
:
1, 2 ,L
,

也
s
线性无关.反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组
A也线性相关.
短向量线性无关，则加长向量线性无关； 长向量线性相关，则缩短向量线性相关
定理2 设 1,2 ,L ,r 与 1, 2 ,L , s 为两个
相 关, 否 则 这 向 量组 的 秩 大 于r .
是否有某组不全为零的数 k1 , k 2 , , k r ,而使得对
每个恒有非零解,因此可得如下证明.
证明 因为 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全
为零的数k1, k2 , , kr ,使
k1 1 k 2 2 k r r 0
考虑线性方程
k1x1 k2x2 L kr xr 0 因为r 2,它必有非零解,设(t1 , t 2 , , t r)为任一非
k11 k22 L kss 0 则称向量组 1,2 ,L ,s 为线性无关的. 等价的，对于一个向量组 1,2 ,L ,s , 若由
k11 k22 L kss 0
必有 k1 k2 L ks 0,
则称向量组 1,2 ,L ,s为线性无关的.
第三章 线性方程组习题课
1.线性组合
定义 给定向量组A :1,2 ,L ,s对于任何一组 实数k1, k2 ,L , ks ,向量 k11 k22 L ks s
称为向量组A的一个线性组合
2.线性表出
给定向量组A :1,2 ,L ,s和向量b,如果存在一组
实数k1, k2 ,L , ks ,使
7.2非齐次线性方程组 解的性质 解的结构
推论 非齐次线性方程组（3）在有解的条件下， 解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.