2. 解
设α β (2, 2,4) T ， 2 β (1, 0, 1) T ，求向量α, β 3α
1 1 4 7 α [2(α β ) (3α 2 β )] (5, 4,7)T (1, , )T ， 5 5 5 5
1 1 6 13 β [(3α 2 β ) 3(α β )] (5, 6, 13)T (1, , )T 。 5 5 5 5
3、当 s n 时，向量组α1 , α 2 ,, α s 线性相关。（此时R( A) n s）
定理：向量组α 1 , α 2 , , α（s 2）线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个可由 s 其余向量线性表示。 定理：设向量组α 1 , α 2 , , α s 线性无关，而向量组α 1 , α 2 , , α s , β线性相关，则向量β可由 向量组α 1 , α 2 , , α s 表示，且表示式唯一。 定理：若向量组α 1 , α 2 , , α s 线性相关，则向量组α 1 , α 2 , , α s , α s 1 , , α t 线性相关； 反之，若向量组α 1 , α 2 , , α s , α s 1 , , α t 线性无关，则向量组α 1 , α 2 , , α s 线性无关。
或
Байду номын сангаас
α a1 , a2 , , an ，β b1 , b2 , , bn ，k R α β a1 b1 , a2 b2 , , an bn ，
负向量 α a1 , a2 , , an ，
kα k a1 , k a2 , , k an 。
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4.向量组的极大线性无关组和秩
定义：若向量组A的部分组α1 , α 2 , , α s 满足 （ ）α1 , α 2 , , α s 线性无关； 1 （2）向量组A中的任一向量都可由α1 , α 2 , , α s 表示， 则称该部分组α1 , α 2 , , α s为向量组A的一个极大线性无关组。 定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。 性质：等价的向量组有相同的秩。
判断n维向量组α1 , α 2 ,, α s 线性相关性的方法：
1、 求出α1 , α2 ,, α s 的秩 r , 比较矩阵A α1 , α2 ,, α s 秩与向量个数 s。
（ ）若 r s ，则向量组α1 , α2 ,, α s 线性相关。 1 （2）若 r s ，则向量组α1 , α2 ,, α s 线性无关。
T T T T
1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 解（1） 1 1 1 0 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 所以，β α1 α 2 2α 3 2α 4 .
1 1 1 β1 , β2 , β3 α1 , α2 , α3 1 1 1 , 1 1 1
0 1 2 1 2
1 2 0 。 1 2
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6.判断下列向量组的线性相关性：
(1) α1 (0, 2,2) T , α 2 (2, 0, 2) T , α 3 (2, 2, 0) T (2) α1 (3, 5, 2,1) T , α 2 (1,1, 0,5) T , α 3 (1,3, 1,3) T
齐次线性方程组
线性方程组解的结构 基础解系
非齐次线性方程组
线性方程组的解的各种情形的判断 利用基础解系表示线性方程组的通解
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1.向量的基本定义和运算
定义：由n个数a1 , a2 , , an组成的有序数组称为n维向量, 记为 α a1 , a2 , , an a1 a2 α 。 a n
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二、作业讲解
2α 3 β.
1.设向量 α (1, 2,3, 4)T ，β (1, 2, 0, 3)T , 求α β及
解
α β (0, 4,3, 7)T ,
2α 3 β (2, 4,6, 8)T (3, 6,0, 9)T (5, 2,6, 1)T 。
矩阵A α1 , α 2 ,, α s 与矩阵B α1 , α 2 ,, α s , β 的秩是否相等。
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3.线性相关、线性无关
定义：对于n维向量组α 1 , α 2 ,, α s，如果存在一组不全为零的数k1 , k 2 ,, k s，使 k1α 1 k 2 α 2 k s α s 0， 则称向量组α 1 , α 2 ,, α s 线性相关； 否则，称向量组α 1 , α 2 ,, α s 线性无关（即只有k1 k 2 k s 0才能使得上式成立）。
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重点5.
已知向量组B : β1 , β 2 , β 3可由向量组 A : α1 , α 2 , α 3 线性表示为：β1 α1 α 2 α 3， β 2 α1 α 2 α 3，β 3 α1 α 2 α 3，试将向量组 A用向量组B 线性表示.
判断向量β可否由向量组α1 , α 2 ,, α s 线性表示的方法：
将向量按列组成矩阵α1 , α 2 , , α s , β ，用初等行变换化为行阶梯形， （ ）若R（A） R（B），则β不可由向量组α1 , α 2 ,, α s 线性表示。 1 （2）若R（A） R（B），则β可由向量组α1 , α 2 , , α s 线性表示。同时可用一个相应 的线性方程组求出表示式。
齐次线性方程组Ax 0 性质：若ξ 1 , ξ 2是Ax 0的解，则ξ 1 ξ 2是Ax 0的解。 性质：若ξ是Ax 0的解，则kξ是Ax 0的解，k R。 定义：设ξ 1 , ξ 2 , , ξ s是Ax 0的一组解向量，且满足 （1 ξ 1 , ξ 2 , , ξ s 线性无关， ） （2）Ax 0的任一解都可由ξ 1 , ξ 2 , , ξ s 线性r表示， 则称ξ 1 , ξ 2 , , ξ s是Ax 0的一组基础解系。 定理：如果n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的秩R( A) r， （1 ）若 r n，则Ax 0只有零解； （2）若 r n，则Ax 0 有非零解，基础解系由n r个向量ξ 1 , ξ 2 , , ξ n - r 组成。 注：通解可表示为x k1ξ 1 k 2 ξ 2 k n r ξ n - r，其中k1 , k 2 , , k n r为任意常数。
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线性代数
——向量组线性相关性习题讲解
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第四章 向量组的线性相关性
一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍
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一、要点复习
一个向量可由一组向量线性表示 一组向量可由另一组向量线性表示 两组向量可相互线性表示（等价） 线性相关 线性无关
线性表示
向量组的线性相关性
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向量组的极大线性无关组 向量组的秩
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3.试将向量 β
表示为其他向量的线性组合：
T T T T T
（ ）β 0,2,0,1 , α1 1,1,1,1 , α 2 1,1,1,0 , α 3 1,1,0,0 , α 4 1,0,0,0 1 （2）β 3,5,6 , α1 1,0,1 , α 2 1,1,1 , α 3 0,1,1
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4. 设β 7,2, a 解
7 2 3 1 7 2 3 1 7 2 3 1 3 7 6 2 0 1 3 5 0 1 3 5 ， 5 8 1 a 0 2 6 a 5 0 0 0 a 15
解
1 1 1 α1 ( β1 β2 )，α2 ( β2 β3 )，α3 ( β1 β3 )。 2 2 2
1 1 1 1 1 2 α1 , α2 , α3 β1 , β2 , β3 1 1 1 β1 , β2 , β3 1 2 1 1 1 0
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2、当 s n 时，矩阵A α 1 , α 2 ,, α s 是方阵，可用A的行列式进行判断，
（ ）若 A 0 ，则向量组α 1 , α 2 ,, α s 线性相关。（此时R( A) s） 1 （2）若 A 0 ，则向量组α 1 , α 2 ,, α s 线性无关。（此时R( A) s）
α β α ( β) a1 b1 , a2 b2 , , an bn ，
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2.线性表示
定义：设n维向量β , α 1 , α 2 , , α s，如果存在一组数k1 , k 2 , , k s，使 β k1α 1 k 2 α 2 k s α s， 则称向量β可由向量组α 1 , α 2 , , α s 线性表示。 定义：设n维向量组A：α 1 , α 2 , , α s，B：β 1 , β 2 , , β t，若B中每个向量都可由向量 组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
T
, α1 2,3,5 , α 2 3,7,8 , α 3 1,6,1 ，问α为何值时，β可经α1 , α 2 , α 3
T T T
线性表示？α为何值时，β不能经α1 , α 2 , α 3线性表示？
所以，当a 15时，β可经α1 , α 2 , α3线性表示；
当a 15时，β不能经α1 , α 2 , α3线性表示。
0 0 1 0 0 1 ， 1 0 2 0 1 2
3 1 1 0 3 1 1 0 (2) 0 1 1 5 0 1 1 5 ， 1 1 1 6 0 0 1 9 所以，β 11α1 14α2 9α3 .