其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
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线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
小结 RA RB n Ax b有唯一解 RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 方程组的通解．
设RA n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
Dn所对应的 n个方程只有零解 根据克拉默定理 ,
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2.7 线性方程组的解，习题课
这与原方程组有非零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n. 充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行， 从而知其有 n - r 个自由未知量 . 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
2.7 线性方程组的解，习题课
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，


即得与原方程组同解的方程组

x1 x2

2 2
x3 x3

5
3 4
3
x4 x4

0, 0,
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2.7 线性方程组的解，习题课
由此即得

x1 x2

2
x3

5 3
x4
,

-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
例３ 求解非齐次方程组的通解

x1 x1
-
x2 x2

x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
2
x2 x2 -
x3 2 x3
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1

1 0 0
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
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二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组

x1 2 x1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
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2.7 线性方程组的解，习题课
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
方程０＝１，
这与方程组有解相矛盾. 因此 RA RB.
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2.7 线性方程组的解，习题课
充分性. 设 RA RB,
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
x1 x2 x4 1 2

x1 x3

x2 x4 1 2x4 1 2
2


x2 x3

x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
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2.7 线性方程组的解，习题课
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2

x1

2c2

5 3 c2,

x2 x3

-2c2 c1 ,
-
4 3
c2
,
x4 c2,
5


x1 x2 x3 x4


c1

2 -2 1 0


c2

-1 -3
1 2
r2 r3
-
2r1r1
1 0
-2 5
3 -4
-1 0
1 - 1
2 1 2 - 2 3 r3 - r2 0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
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定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
阵 B A,b的秩.
证 必要性．设方程组 Ax b 有解,
设RA RB,
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾

x2 x3 x4


x2

1 0

0

x4
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例２ 求解非齐次线性方程组

x1 3 x1
2 -
x2 x2
3x3 5x3
-
x4 3 x4
1, 2,
2x1 x2 2x3 - 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B 3
-2 -1
3 5
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
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r3 - r2
1 0
2 1
2 2
1 4


1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4

r2

(-3)

0
0
0
3 0

3
0 0 0 0