二次函数试题一;选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）A -1B 2C -1或2D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—25、抛物线y= 21 x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）A （—6，—6）B （—6，6） C6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ A １ B ２ C ３ D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0）c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。

16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c＝－２的根为————————————。

17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． AMC （1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出P △CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作 EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在， 求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在， 求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（二次函数与四边形）4、已知抛物线217222y x mx m =-+-． (1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C ，直线y=x －1与抛物线 交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，说明理由；②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得 C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝_ ▲，OC＝_ ▲；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（ 1 0-，），B（ 1 2-，），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线2=++经过点D、M、N．y ax bx c（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．7、已知抛物线223 (0)=--<与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于y ax ax a a点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O 的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（二次函数与圆）8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m ＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

10、已知抛物线2=++的对称轴为直线y ax bx cx=，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于2点C．其中AI(1，0)，C(0，3-)．（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

答案：1、解：（1）由已知条件得，（2分）解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x 2﹣x ﹣；（1分）（2）∵x 2﹣x ﹣=0，∴x 1=﹣1，x 2=3，∴B（﹣1，0），C （3，0），∴BC=4，（1分）∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大，∴E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC 的面积=×4×3=6．（1分）2、（1）∵抛物线的顶点为（1，92） ∴设抛物线的函数关系式为y ＝a ( x －1) 2＋92∵抛物线与y 轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋92＝4 解得a ＝－12∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12( x －1) 2＋92（2）解：P 1 (1，17)，P 2 (1，－17)， P 3 (1，8)，P 4 (1，178)，（3）解：令－12( x －1) 2＋92＝0，解得x 1＝－2，x 1＝4∴抛物线y ＝－12( x －1) 2＋92与x 轴的交点为A (－2，0) C (4，0)过点F 作FM ⊥OB 于点M ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴MF OC ＝EB AB 又 ∵OC ＝4，AB ＝6，∴MF ＝EB AB ×OC ＝23EB设E 点坐标为 (x ，0)，则EB ＝4－x ，MF ＝23 (4－x ) ∴S ＝S △BCE －S △BEF ＝12 EB ·OC －12 EB ·MF ＝12EB (OC－MF )＝12 (4－x )[4－23 (4－x )]＝－13x 2＋23x ＋83＝－13( x －1) 2＋3∵a ＝－13＜0，∴S 有最大值 当x ＝1时，S 最大值＝3 此时点E 的坐标为 (1，0)3、（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y ＝43x 2＋bx ＋c 得∴⎩⎪⎨⎪⎧43－b ＋c ＝0c ＝－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83c ＝－4 ∴y ＝43x 2－83x －4 （2）∵y ＝43x 2－83x －4＝43( x －1) 2－163 ∴顶点为D （1，－163）设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－163）C (0，－4) 易求直线CD 的解析式为y ＝－43x －4易求E （－3，0），B （3，0） S △EDB ＝12×6×163＝16S △ECA ＝12×2×4＝4 S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1 做BC 的垂直平分线交抛物线于E ，交对称轴于点D 3 易求AB的解析式为y ＝－3x ＋ 3∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB 设D 3E 的解析式为y ＝－3x ＋b∵D 3E 交x 轴于（－1，0）代入解析式得b ＝－3, ∴y ＝－3x － 3把x ＝－1代入得y ＝0 ∴D 3 (－1，0), 过B 做BH ∥x 轴，则BH ＝111在Rt △D 1HB 中，由勾股定理得D 1H ＝11 ∴D 1（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。

可求交点坐标D 1（－1，11＋3）, D 2（－1，22）, D 3 (－1，0), D 4 (－1, 11－3)D 5（－1，－22） 4、(1)∆=()2174222m m ⎛⎫--⨯⨯- ⎪⎝⎭=247m m -+=2443m m -++=()223m -+，∵不管m 为何实数，总有()22m -≥0，∴∆=()223m -+＞0，∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x =3，∴3m =， 抛物线的解析式为215322y x x =-+=()21322x --，顶点C 坐标为（3，－2）， 解方程组21,15322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或2276x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为（1，0）、B 的坐标为（7，6），∵3x =时y =x －1=3－1=2，∴D 的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，则E 的坐标为（3，0），所以AE =BE =3，DE =CE =2，① 假设抛物线上存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形，则AP 、CD 互相垂直平分且相等，于是P 与点B 重合，但AP=6，CD=4，AP ≠CD ，故抛物线上不存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形．② (Ⅰ)设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为x =3n +，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n +，2n +），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，2n -）， 又N 在抛物线215322y x x =-+上，∴()()215233322n n n -=+-++， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =，（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，6n +）， 又N在抛物线215322y x x =-+上，∴()()215633322n n n +=+-++， 解得11n =，21n =(Ⅱ) 设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为x =3n -，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n -，2n -），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，2n --）， 又N 在抛物线215322y x x =-+上，∴()()215233322n nn --=---+， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =-（不合题意，舍去），（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，6n -），又N 在抛物线215322y x x =-+上，∴()()215633322n n n -=---+，解得11n =-21n =-，综上所述，直线CD 向右平移2或（1+1-+）个单位，可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．5、解：（1）OB ＝3，OC ＝8（2）连接OD ，交OC 于点E ∵四边形OACD 是菱形 ∴AD ⊥OC ，OE ＝EC ＝12×8＝4∴BE ＝4－3＝1又∵∠BAC ＝90°，∴△ACE ∽△BAE ∴AE BE ＝CE AE∴AE 2＝BE ·CE ＝1×4∴AE ＝2 ∴点A 的坐标为 (4，2) 把点A 的坐标 (4，2)代入抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m ，得m ＝－12 ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋112x －12（3）∵直线x ＝n 与抛物线交于点M∴点M 的坐标为 (n ，－12n 2＋112n －12)由（2）知，点D 的坐标为（4，－2）， 则C 、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y ＝12x －4 ∴点N 的坐标为 (n ，12n －4) ∴MN ＝（－12n 2＋112n －12）－（12n －4）＝－12n ＋5n －8∴S 四边形AMCN ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·CE ＝12（－12n 2＋5n －8）×4＝－(n －5)2＋9∴当n ＝5时，S 四边形AMCN ＝96、解：（1）∵BC ∥AD ，B （-1，2），M 是BC 与x 轴的交点，∴M （0，2），∵DM ∥ON ，D （3，0），∴N （-3，2），则9302930a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩，解得19132a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴211293y x x =--+；（2）连接AC 交y 轴与G ，∵M 是BC 的中点，∴AO=BM=MC ，AB=BC=2，∴AG=GC ，即G （0，1）， ∵∠ABC=90°，∴BG ⊥AC ，即BG 是AC 的垂直平分线，要使PA=PC ，即点P 在AC 的垂直平分线上，故P 在直线BG 上，∴点P 为直线BG 与抛物线的交点， 设直线BG 的解析式为y kx b =+，则21k b b -+=⎧⎨=⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，∴1y x =-+，∴2111293y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，∴点P（3 2+--，P （ 2-+，），（3）∵22111392(93924y x x x =--+=-++，∴对称轴32x =-，令2112093x x --+=，解得13x =，26x =，∴E （6-，0），故E、D关于直线32x=-对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，要使|QE-QC|最大，则延长DC与32x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线32x=-的交点，由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则302k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得13kb=-⎧⎨=⎩，∴3y x=-+，当32x=-时，39322y=+=，故当Q在（3922-，）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则==．7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3；（3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）∴F（，），EN= ，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM= -m，EF= = ，MQ=OM=由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴= ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，m2+9m+ = + （m+ ）2= m+ =±∴m1= ，m2=- ，∴点M的坐标为M1（，），M2（，- ）．8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴，解得：，y=x+；（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC ，∠BMP=∠ACB ， ∴△ABC∽△CBM ，∴，∴，∴PC=1.5，P 点坐标为：（2，1.5）．9、解：（1）A （﹣m ，0），B （3m ，0），D （0，m ）．（2）设直线ED 的解析式为y=kx+b ，将E （﹣3，0），D （0，m ）代入得：解得，k=，b=m ． ∴直线ED 的解析式为y=mx+m ．将y=﹣（x+m ）（x ﹣3m ）化为顶点式：y=﹣（x+m ）2+m ．∴顶点M 的坐标为（m ，m ）．代入y=mx+m 得：m 2=m∵m ＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M 点在直线DE 上．连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C （m ，0）． ∵OD=，OC=1，∴CD=2，D 点在圆上又OE=3，DE 2=OD 2+OE 2=12，EC 2=16，CD 2=4，∴CD 2+DE 2=EC 2．∴∠FDC=90°∴直线ED 与⊙C 相切． （3）当0＜m ＜3时，S △AED =AE ．•OD=m （3﹣m ） S=﹣m 2+m ．当m ＞3时，S △AED =AE ．•OD=m （m ﹣3）． 即S=m2_m ．10、解：（1）由题意，得0322a b c c ba⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-。