2014-2015学年度第一学期高三数学（理）函数与三角函数综合测试试卷命题人：周扬本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分为150分，考试用时为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、函数243,[0,3]y x x x=-+∈的值域为 ( )A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]2、下列函数中，值域为(),0-∞的是（）A．2y x=-B.131()3y x x=-< C.1yx= D.y=3、7cos()6π-的值为（）A．12- B.12C.2- D.24．已知31sin()23πα+=，则cos2α=（）A．79-B．79C．13-D．135．将函数)26cos(xy-=π的图像向右平移12π个单位后所得的（）图像的一个对称轴是A．6π=x B．4π=x C．3π=x D．12xπ=6、在ABC△中，若60,45,A B BC︒︒∠=∠==AC=（）.A．B． D．27.已知2)2sin()cos()sin()2sin(=-+--+-xxxxπππ，则)43tan(π+x的值为（）A.2B.2-C.21D.21-8．已知函数()sin()(,A0,0,||)2f x A x x Rπωφωφ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为()A．ωπ=，3πφ=B．2ωπ=，3πφ=C．ωπ=，6πφ=D．2ωπ=，6πφ=第II卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 计算(cos1)x dxπ+=⎰π．10．函数ln()(0)xf x xx=>的单调递增区间是(0,]e．11、函数y=的定义域是___(,2]-∞-_____12、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°.13、ABC∆中，若1,3ABCa C S∆===b=14、关于函数()cos2cosf x x x x=-，下列命题：①若1x，2x满足12x xπ-=，则()()12f x f x=成立；②()f x在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；④将函数()f x的图像向左平移127π个单位后将与2sin2y x=的图像重合．其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数()sin(),4f x A x x Rπ=+∈，且53()122fπ=；（1）求A的值；（2）若3()()2f fθθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4fπθ-；【答案】（1）由已知，5523sin sin1212432f A Aππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A=（2）由（1）知，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以：()()4444sin cos cos sin sin cos cos sin 44443cos 42f f ππθθθθππθθππππθθθθπθθ⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭===解得cos θ=，又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=.所以()33444f πππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16、已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =-- （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若()10f α=，求sin 2α的值．解：（1）由已知，……………………………4分所以的最小正周期为，单调递增区间为37[2,2]44k k ππππ++. ……………………………6分 （2）由（1）知，所以. ……………………8分所以，……………………………12分或由得：……………………8分两边平方得：，所以。

……………………12分17、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos B =，2b =，求△ABC 的面积. 解：（Ⅰ）因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. 6分 （Ⅱ）因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==. 8分 由正弦定理sin sin =a b A B ， 得 sin 3sin ==b Aa B. 10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=±c 12分因为 0>c ，所以1=c . 故△ABC的面积1sin 22S bc A ==. 14分18、已知函数b xax x f ++=ln )(，当1=x 时，)(x f 取得极小值3. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）因为()21xax x f -=' 2分所以()()⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=='3013101b a a f f 4分 解得⎩⎨⎧==21b a 6分（Ⅱ）因为()21ln ++=x x x f 所以()22111xx x x x f -=-='所以()10=⇒='x x f当1=x 时，)(x f 取得极小值即最小值：()()31min ==f x f因为()04ln 4ln ln 2ln 2232212323>=-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e e f f当21=x 时，)(x f 取得最大值()2ln 421max -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f 19．(本题满分14分)已知函数2()2cos1sin (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线()3x f x π=是图象的一条对称轴．（1）试求ω的值：（2）已知函数)(x g y =的图象是由y=()f x 图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到，若6(2),(0,),sin 352g ππααα+=∈求的值。

20、已知函数，．（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a 的取值范围；解：（1）当时，，其定义域为（0，+∞）.因为，…………………………1分所以在（0，+∞）上单调递增，…………………………2分所以函数不存在极值. …………………………3分（2）由存在一个，使得成立，等价于，即成立…………………………4分令，等价于“当时，”.…………………………5分因为，且当时，，所以在上单调递增，…………………………7分故，因此. …………………………8分。