4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +(Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期;) -1.6(Ⅱ)求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4(Ⅰ)求 f (x ) 的定义域与最小正周期;⎛ ⎫(II )设∈ 0, ⎪ ,若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x(1) 求 f (x ) 的定义域及最小正周期;(2) 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24(I )求函数 f (x ) 的最小正周期;( II ) 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R , 有g (x + 2 = g (x ) , 且 当x ∈[0, ] 时 , 2g (x ) = - f (x ) ,求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ,2) +1(A > 0,> 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对 6(1)求函数 f (x ) 的解析式;(2)设∈(0, ) ,则 f ( ) = 2 ,求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ,其中> 0.6(Ⅰ)求函数 y = f ( x ) 的值域(Ⅱ)若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数,求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为 图象的最高点, B 、C 为图象与 x 轴的交点,且∆ABC 为正三角形.(Ⅰ)求的值及函数 f (x ) 的值域;8 3 (Ⅱ)若 f (x 0 ) 5,且 x 0 ∈(- 10 2, ) ,求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C + 3a sin C - b - c = 0(1)求 A ;(2)若 a = 2 , ∆ABC 的面积为 ;求b , c .10、在 ∆ ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos A cos C .= 2,sin B = 53(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a = 2 ,求∆ ABC 的面积.3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开,再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数,最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】(Ⅰ)因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +,所以 f (x ) 的最小正周期为.62(Ⅱ)因为- ≤ x ≤ 6 4 ,所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是,当2x + = 6 2 ,即 x =6时, f (x ) 取得最大值 2;当2x + = - 6 6 ,即 x = - 时, f (x ) 取得最小值-1.62、【解析】 (1)2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 (2) - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 , 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = , 当 2x = - 时 , 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质;2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】(I)【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z , 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } , f (x ) 的最小正周期(II)【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ,所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ,得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解(1): sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得:函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得: f (x ) 的最小正周期为T = = ;2(2)函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得: f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x , 2 22(I )函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1(II )当 x ∈[0, ] 时, g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时, (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时, (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】(1)∵函数 f ( x ) 的最大值是 3,∴ A +1 = 3,即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ,∴最小正周期T =,∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61(2)∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ,即sin(- 6 ) = ,6 2∵ 0 << ,∴ - <- < ,∴- = ,故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解:(1) f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1,所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤(2)因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数,故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立,此时必有 k = 0 ,于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4,解得≤ ,故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想. [解析](Ⅰ)由已知可得: f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=42 所以,函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8,即= 8,得= 4所以,函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 (Ⅱ)因为 f (x 0 ) =853,由(Ⅰ)有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 , 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈(- 10 2x 0 + ∈ (-,),得( ) , )3 34 3 2 2所以,即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解:(1)由正弦定理得:a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒(2) S = bc sin A = ⇔ bc = 4 , 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0,∴sin A = ,= >33又2 sin C .35 cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos A =5 cos C +3整理得:tan C = 5 .(Ⅱ) 由图辅助三角形知: sin C =. 又由正弦定理知:a sin A c ,sin C故c 3 . (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理:cos A =2bc . (2) 3 解(1) (2)得: b 3 or b = 3 (舍去). ∴∆ ABC 的面积为:S = 5. 3 2。