四方
c
a
a＋b
三方
c
a
－
正交
a
b
c
单斜 三斜
b
－
－
4.32个点群
两个对称元素的结合就会产生新的对称 元素，在七个晶系中把特征对称元素与基本 对称元素进行组合，就会产生32种不同的对 称元素组合，这就是32个点群。
二重轴和镜面对称元素的结合 1.两个相交的二重轴必在它的垂直方向产生第 三个旋转轴。新轴的基转角ω 是两个相交二重 轴夹角θ 的两倍，即ω ＝2θ 。由于晶体学中 只有2，3，4，6重轴，因此θ 只能是30°， 45°，60°，90°。 2.两个镜面相交，其交线是一旋转轴，旋转轴 的基转角ω 是两个相交镜面夹角θ 的2倍。所 以θ 也只能是30°，45°，60°，90°。 3.二重轴与垂直它的镜面结合，其交点是一对 称中心。
螺旋旋转操作―――螺旋轴nm
旋转＋平移
螺旋旋转操作―――螺旋轴nm
旋转＋平移（n为轴次，m为滑移量，m<n）
11种螺旋轴
21 31，32 41，42，43 61，62，63，64，65
图：三重轴（左）和三重螺转轴 （右）；后者通过将一个分子旋转 120后再平移半个晶胞距离与另一个 分子相关联。
2.11个劳埃群
在倒易点阵的对称性中，几何晶体学 中的七个晶系和基本对称元素都不变，在 不考虑反常散射效应的情况下，晶体衍射 对称性均较原晶体的几何晶体学对称性多 一个对称中心，这样使几何晶体学中的32 个点群变成X射线晶体学中的11个Laue群。
3.120个衍射群
几何晶体学中带有平移向量的对称元素即螺旋 轴、滑移面，会使衍射照片中的特定的点的强度为 零，也就是说这些衍射点，在照片中消失了，称为 系统消光。 复晶胞也就是带心的Bravais格子，也会使一些 特定的点强度为零，产生系统消光。 通过系统消光规律的辨识，就可知道几何晶体学 中的230个空间群。遗憾的是，不是所有的空间群都 能通过系统消光规律的辨识来唯一确定，通过衍射 试验只能把230个空间群分成120个不同的衍射群， 也就是说同一个衍射群有可能对应于几个空间群。
不对称单位
由于晶胞中有对称元素，所以不是整个晶胞内对 象都是独立的，晶胞中最基本的独立单元叫不对称 单位。 不对称单位内的所有对象通过晶胞所具有的对称 元素的操作可得到整个晶胞所包含的对象。 一个晶胞可以有多种不同形状的不对称单位，但 它们的体积是相等的，等于晶胞体积除以等效点数
点阵结构
平行六面体
晶系 立方 六方 特征对称元素 4个按立方体的对角线 取向的三重轴 六重轴（平行于C轴） 或六重反轴 四重轴（平行于C轴） 或四重反轴 三重轴（平行于C轴， 按六方取）或三重 反轴 二个互相垂直的对称 面或三个互相垂直的 二重轴 一个二重轴或对称面 无或仅有一个对称中心 晶胞参数 a＝b＝c α ＝β ＝γ ＝90° a＝b≠c α ＝β ＝90° γ ＝120° a＝b≠c α ＝β ＝γ =90° a＝b≠c α ＝β ＝90° γ ＝120° a≠b≠c α ＝β ＝γ ＝90° a≠b≠c α ＝γ ＝90° a≠b≠c α ≠β ≠γ 对称元素方向 a a+b+c a+b c a 2a＋b
等效点 X -X Y -Y Z -Z X X Y -Y Z Z X -X Y Y Z -Z X -Y Y X-Y Z Z X -Y Y X Z Z X Y Y -X Z -Z X Y Y Y-X Z Z
Y-X -X Z -X -Y Z -X -Y Z Y-X -X Z
Y -X Z -Y X -Z -X -Y Z
5.14个布拉菲格子

有时为了获得较高的对称性， 把原有晶胞扩大，使成为带心的晶 胞，由此在七个晶系中可以得到14 种不同的布拉菲格子，不带心的晶 胞称为素晶胞（P），带心的称为 复晶胞（I，F，C）。
素晶胞（简单晶胞）和复晶胞
素晶胞
带底心的晶胞
在选取复杂点 阵时，除了平 行六面体的顶 点外，只能在 体心或面心有 附加阵点，否 则将违背空间 点阵的周期性， 所以只能出现 这四类晶胞。
七个基本对称元素 i,m,2,3,4,6,4
素晶胞
复晶胞
七个晶系 三斜，单斜，正交 三方，四方，六方，立方
螺旋轴 滑移面
14 Bravias格 子
32点 群
230空 间 群
二、X射线晶体学
Bragg定律
Bragg定律 晶体对X-射线的衍射可以看成晶体中原子平面 对X-射线的反射。在同一晶面中所有原子的反 射线的相位是相同的，与该晶面平行的一组平 面上的原子，要满足Bragg方程时才有相同相 位的反射。 2dhklsin =n 图
-Y X-Y Z
X-Y X Z
3.七个晶系
根据晶胞形状，也就是六个晶胞参数， 以及晶胞中所容纳的特征对称元素，可以 把不同的晶胞分成七个类型，即七个晶系。 晶胞参数的特征是各个晶系的宏观表现， 是区分七个不同晶系的必要条件但不是充 分的条件，只有特征对称元素是区分晶系 的关键所在。
Hale Waihona Puke 七个晶系及其特征对称元素system absence of lattic type
condition all hkl Bravie lattic system absence of screw axis
1. h+k+l=2n
2. h+k=2n h,k,l
I
h00 h=2n F h00 h=4n 0k0 k=2n C (B) (A) R 0k0 k=4n 00l l=2n 00l l=3n 00l l=6n 21,42 41,43 21,42 41,43 21,42,63 31,32,62,64 61,65
2dhklsin =n 对某一晶体来
说dhkl是确定不 变的，当一定 时只有特定的 值才能满足以 上方程，也就 是说只有晶体 处于某一方位 时才能产生衍 射。
1.倒易点阵
倒易点阵简便而又形象地说就是衍射 照片上的一组点，晶胞（又称正空间）中 的点用XYZ来表示，倒易点阵（又称倒易空 间）中的点用HKL来表示。 X射线晶体学处理倒易点阵的对称性。
1
2
3
4
6
镜面m和倒反操作i
镜面：镜像关系 倒反：类似于相机（凸 透镜）等大成像
旋转反演操作―――反轴Lin
旋转＋倒反
i
m
3＋i
3＋m
基本对称元素名称，矩阵表达式及其等效点表


名称 符号 (1) 对称中心 i
(2) 镜面
晶体的点阵结构
点阵分类：
分布在同一直线上的 叫直线点阵; 分布在同一平面的叫 平面点阵； 分布在三维空间的叫 空间点阵。
晶胞和晶格
从一个空间点阵结构中一定可以划出一个平行六面体， 这一平行六面体称为晶胞。晶胞由晶体空间点阵中3个 不共面的单位矢量a，b，c所规定，其大小形状用晶胞 参数a，b，c，α,β,γ表示。空间点阵按照确定的平行 六面体单位划分后，称为晶格。
h+l=2n or all odd
k+l=2n
3. h+k=2n (h+l=2n) (k+l=2n) 4. -h+k+l+3n
all even
三、晶体结构测定
1.相角问题
从晶体X衍射图的形状及对称性可 以推算晶胞的大小和空间群（可能不 是唯一的）。用X衍射方法解晶体结构 就是要进一步知道晶胞中原子的分布 也就是原子坐标。
•可以发现，除了在正交 晶系中四类晶胞可同时出现外，在其他晶系中由于受到 对称性的限制或是不同类型阵点可相互转换的缘故，都不能同时出现。
如：立方晶系中，底心点阵与该晶系的对称性不符（在4个按立方体对角线排列的方向上有 三重轴），所以不能存在。
6.230个空间群
对称元素和平移向量相结合，可以得到一类 含有平移的新的对称元素，即螺旋轴和滑移面。 旋转轴和平移向量结合得到螺旋轴 对称面与平移向量结合得到滑移面 各种对称元素的符号图示 把所有类型的对称元素与32个点群、14个布拉 菲格子，按照一定规则的组合就可得到230个空 间群。
晶面指标
晶面交角不变定理
由 平 面 （ 100 ） ， （ 010 ） ， （ 001 ） 围 成 的 单 个 晶 胞 。 用 [100],[010]和[001]表示a、b、c 三个方向。
实际晶体中的几个晶面。
2.最基本的对称元素
点阵结构是很有规律的结构，除了 上述的平移群能使它复原外，还存在 另外一些能使其复原的对称元素，如 对称中心（倒反），镜面，旋转轴， 旋转反轴，空间点阵结构中只能容纳 有限的几种旋转轴，即二重轴、三重 轴、四重轴及六重轴，所以其最基本 的对称元素只有七种。
31
反映滑移操作―――滑移面g
反映＋平移
5种滑移面
a,b,c,n,d
空间群的记号及其意义 P1 C2 P212121 I4122 R3 P6122 P23 第一个字母表示Bravias格子类型，接着是 对称元素的记号，对称元素所在的位置表示 该对称元素在相应晶系中的方向。
如何从空间群（Space group）记号知道晶系： 1.如果在第一位出现高次轴（3、3、4、4、6、6） 就相应于三方、四方、六方晶系 2.如果只有一个方向有对称元素且不是高次轴则 (Ⅰ)有2或21轴或镜面滑移面的是单斜晶系 (Ⅱ)仅有i或无对称元素的是三斜晶系 3.如果三个方向都有对称元素且仅仅是2，21镜面或 滑移面的则是正交晶系 4.如果在第二位方向上有3或3的则是立方晶系
Bravais lattice：
1. 简单三斜aP
2. 简单单斜mP 3. 底心单斜 mC(mA,mB) 4. 简单正交oP 5. C 心 正 交 oC(oA.oB) 6. 体心正交oI 7. 面心正交oF