三角形中线长公式引发的思考
南京市第三高级中学 张永安
2006年是江苏省全面使用新课程教学的第二年，工作十一年，参加过许多教材教法培训，但是06年8月参加的南京市教研室组织的新教材培训，感触很深。

随后通过近半年的新课程教学实践，我深刻体会到新课程改革从理念、内容到实施的变化。

而要实现教学改革目标，教师是关键。

教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源研发的重要力量。

教师对新教材的认识、体会与钻研程度，对教师如何使用教材，运用科学的教学方法与手段去引导，组织学生参与到学习活动中尤为重要，作为教师就必须对课本中每个问题要认真钻研，体会其作用。

苏教版课本必修5第16页例６三角形中线长公式课堂教学之后，回味无穷，此题对于高一、高二、高三学生均有学习价值。

题目是这样的：例６ 如图１-２-４，ＡＭ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的中线，求证： ＡＭ ＝
2
1222)(2BC AC AB -+．
证法一：作AH ⊥BC ，垂足为H ，
在RT △ＡHC 与RT △ＡHB 中，利用勾股定理：
ＡＣ２＝ＡH ２＋H Ｃ２＝ＡH ２＋（MC －MH ）２
ＡＢ２＝ＡH ２＋ＢH ２＝ＡH ２＋（MB ＋MH ）２
∵M 是BC 中点 ∴MB ＝MC ＝
2
1
ＢＣ ∴ＡＢ２
＋ＡＣ２
＝2（ＡH ２
＋MH 2）＋2
1
ＢＣ2 即：ＡＢ２
＋ＡＣ２
＝２ＡＭ２
＋2
1ＢＣ２
， 因此，ＡＭ ＝
2
1
222)(2BC AC AB -+． 点评：此题证法通过作三角形底边上的高，化斜（三角形）为直（三角形），构造出三个RT 三角形，再利用RT 三角形勾股定理，证出结果。

此种证法学生只需要掌握平面几何知识，即可证明。

证法二：以M 为坐标原点，BC 为X 轴，建立如图所示坐标系XOY ，
ＡＢ２
＝（a ＋c ）2＋b 2
ＡＣ２
＝（a －c ）2＋b 2
ＡＭ2＝a 2＋b 2，ＢＣ２
＝4 c 2
∵ＡＢ２＋ＡＣ２
＝2（a 2＋b 2＋c 2）
２ＡＭ２
＋
2
1ＢＣ２
＝2（a 2＋b 2＋c 2） ∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋2
1ＢＣ２
，
因此，ＡＭ ＝2
1
222)(2BC AC AB -+．
M H
C
B
A
X
图１-２-４
点评：南京市对必修教材教学顺序进行了调整，顺序为必修1、4、5、2、3，因此必修5第16页例６，实际上这个例题按照正常顺序，可以用解析法的思路，将几何问题转化为代数计算，先建立平面直角坐标系，再利用距离公式计算对应线段的长，随即完成证明。

为尊重原著，故此法按照教材顺序放置于此。

证法三：由向量加法的三角形法则
AB ＝AM ＋MB ＝AM ＋
21
CB AC ＝AM ＋MC ＝AM ＋2
1
BC
∴AB 2＝（AM ＋21CB ）·（AM ＋2
1
CB ）
＝AM 2＋41CB 2
＋AM ·CB
AC 2＝（AM ＋21BC ）·（AM ＋21
BC ）
＝AM 2＋4
1
BC 2＋AM ·BC
∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋21
BC 2
２
２＋2
1２
即：ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋2
1ＢＣ２
，
因此，ＡＭ ＝2
1
222)(2BC AC AB -+．
点评：向量在平面几何中的应用也比较广泛。

本方法先将三角形边转化为向量，线段长转化为向量的模。

而模的平方转化为向量的数量积。

运用了转化的思想方法。

证法四：由向量加法的平行四边形法则可知：
AM ＝
2
1
（AB ＋AC ）
2＝AM 2＝4
1
（AB ＋AC ）·（AB ＋AC ）
＝41
（AB 2＋AC 2＋2AB ·AC ） ＝41
2
＋
∠BAC ） ＝41
2
2
2
２）＝4
1（
2＋
２
） ∴｜AM ｜＝
2
1
因此，ＡＭ ＝
2
1222)(2BC AC AB -+．
B C A
M A
点评：将平面几何转化为向量问题是常用的思想方法，本方法同时也结合了余弦定理的边角关系。

体现了知识的综合应用。

证法五：（课本方法）设∠ＡＭＢ＝α， 则∠ＡＭＣ＝１８０°－α． 在△ＡＢＭ中，由余弦定理，得
ＡＢ２＝ＡＭ２＋ＢＭ２
－２ＡＭ·ＢＭｃｏｓα． 在△ＡＣＭ中，由余弦定理，得
ＡＣ２＝ＡＭ２＋ＭＣ２
－２ＡＭ·ＭＣｃｏｓ（１８０°－α）． 因为ｃｏｓ（１８０°－α）＝－ｃｏｓα， ＢＭ ＝ＭＣ＝
2
1
ＢＣ， 所以ＡＢ２
＋ＡＣ２
＝２ＡＭ２
＋2
1ＢＣ２
， 因此，ＡＭ ＝
2
1
222)(2BC AC AB -+． 点评：利用余弦定理解三角形。

此方法利用了△ＡＢＭ、△ＡC Ｍ中∠ＡＭＢ与∠ＡＭＣ的互补关系，在两个三角形中运用余弦定理，再将相关余弦式相加，得到结果。

证法六：设复数1z ＝AB ，2z ＝AC
由复数几何意义得：
AB 2＝1z 2＝1z 1z AC 2＝2z 2＝2z 2z BC 2＝2
12z z -，AM ＝
2112z z +，AM 2＝4
1
12z z +2 AB 2＋AC 2＝1z 2＋2z 2＝1z 1z ＋2z 2z
2AM 2＋21BC 2＝21（12z z +2＋2
12z z -） ＝21))((1212z z z z ++＋21
))((1212z z z z -- ＝21))((1212z z z z ++＋2
1
))((1212z z z z -- ＝1z 1z ＋2z 2z
∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋
21
BC 2 即：ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋2
1ＢＣ２
，
因此，ＡＭ ＝2
1
222)(2BC AC AB -+．
点评：利用选修教材中复数知识证明此题，将线段长度转化为复数的模，再
M
A
C
B
α
图１-２-４
M
A
C
B
利用复数的运算与性质。

通过本题的分析，使我回想到在苏教版必修4第83页习题2.4中
感受·理解第5题：
题目：求证：｜a＋b｜２＋｜a－b｜２＝２（｜a｜２＋｜b｜２）．如何构造一
个图形解释这个公式的几何意义？
又联系到平行四边形的一个性质：平行四边形两条对角线的平方和等于其四边平方和。

其实在新教材中有很多经典的问题，稍加研究，发现不少问题的解决方法贯穿整个数学的各个学习阶段。

关键是教师要打破原有教学思想观念的束缚，用新的教育理念来武装自己，不断对新教材的深入认识、体会与钻研。

在课堂教学中，教师应注意沟通各部分内容之间的联系，使学生对所学知识有机结合，去感受数学的整体性，通过数学思想方法的渗透，提高解决实际问题的能力。