成都市2020届高中毕业班摸底测试数学（理工农医类） 模拟试题（全卷满分为150分，完成时间为120分钟）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝C n k P k (1－P )n －k第Ⅰ卷 （选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上．3.考试结束后，监考员将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上．1．复数611i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i2．集合{}|10xM y y -==，集合{|N x y ==，则M N =I（A ）{}|3x x ≥ （B ）1|3x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（C ）{}|01x x <≤ （D ） 1|03x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3．已知函数()()(),cos f x x g x x π==+，直线x a =与()(),f x g x 的图像分别交于M ,N 两点，则MN 的最大值为（A ）1 （B（C ）2 （D）14．设四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，PB ABCD ⊥底面且PB =APD θ∠=，则sin θ=（A（B（C（D球的表面积公式 S ＝4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝43πR 3其中R 表示球的半径5．数列127,,a a a L ，其中恰好有5个2020和2个2020，这样的互不相同的数列的个数是 （A ） 21 （B ）42 （C ） 72 （D ）50406．在直角坐标中，函数()322a f x a x =+ ()0a >所表示的曲线称为箕舌线，则箕舌线可能是（A ） （B ） （C ） （D ）7．向量()()2,0,22cos 2sin OA OB θθ==+u u u r u u u r，则向量OA OB u u u r u u u r 与的夹角的范围是（A ）0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．若不等式1x a -<成立的充分条件为04x <<，则实数a 的取值范围是 （A ）[)3,+∞ （B ）[)1,+∞ （C ）(],3-∞ （D ）(],1-∞9．直线():22l y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则直线l 的一个方向向量为（A ）()2,2- （B ）()1,1 （C ）()3,2- （D ）11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为n n S ,T ，3152n n S n T n +=+，则使n nab 为整数的正整数n 有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）大于3个11．定义域为R 的函数()f x 在()6,+∞上为减函数且函数()6y f x =+为偶函数，则 （A ）()()45f f > （B ）()()47f f > （C ）()()58f f > （D ）()()57f f >12．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，A,B,C 为该椭圆上的三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则FA FB FC++=u u u r u u u r uu u r（A ）2 （B ）（C ）32（D ）3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共计16分) 把答案填在题中横线上．13．10412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_________________14．三棱锥P ABC -内接于球O ，如果PA,PB,PC 两两垂直且PA PB PC a ===，则球心O 到平面ABC 的距离为_________________15．已知()12log f x x =，设()()(),,a b cx y z f a f b f c ===，其中01c b a <<<<，则,,x y z 的大小顺序为_________________16．在△ABC 中，若()()cos sin cos sin 2A A B B ++=，则角C =_________________三、解答题：（本大题共6小题，共74分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，已知54AC BC AC BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，设()()sin ,cos ,cos,cos m A B n B A ==-u r r且15m n ⋅=u r r ，求：（Ⅰ）()sin A B +的值； （Ⅱ）tan A 的值．18.（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算：（结果保留到小数点后第2位）（Ⅰ）5次预报中恰有2次准确的概率；（Ⅱ）5次预报中至少有2次准确的概率；（Ⅲ）5次预报中恰有2次准确且其中第3次预报准确的概率．119.（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，1CB CD AA AB BC ===⊥,AC 与BD 交于点E ．（Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．20.（本小题满分12分） 设函数()3221233f x x ax a x b =-+-+ ()01,a b R <<∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间和极值；（Ⅱ）若对任意[]1,2x a a ∈++，不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为k ()0k ≠，两端点,A B 到y 轴的距离之差为4k ．（Ⅰ）求以y 轴为对称轴，过,,A O B 三点的抛物线方程；（Ⅱ）过抛物线的焦点作动弦CD ，过,C D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，求点M 的轨迹方程并求出2FC FDFM⋅u u u r u u u r u u u u r 的值．22.（本小题满分14分）根据定义在集合A 上的函数()y f x =，构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x A ∈，计算出()10x f x =；②若1x A ∉，则数列发生器结束工作；若1x A ∈，则输出1x ，并将1x 反馈回输入端，再计算出()21x f x =，并依此规律继续下去．若集合{}()|01,1mxA x x f x m x=<<=+- ()m N +∈．（Ⅰ）求证：对任意0x A ∈，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{}n x ； （Ⅱ）若012x =，记1n n a x =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明1143m x <≤． 成都市2020届高中毕业班摸底测试数学（理工农医类） 模拟试题参考答案及评分意见一、选择题：（每小题5分，共60分）1．D ；2．D ；3．C ；4．B ；5．A ；6．A ；7．B ；8．A ；9．A ；10．B ；11．C ；12．C ．二、填空题：（每小题4分，共计16分) 13．180； 14a ； 15．x y z >>； 16．2π． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分)17．解：（Ⅰ）∵55cos 4AC BC AC BC C AC BC ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴4cos 5C =， ……2分∴()3sin sin 5A B C +== ……2分（Ⅱ）设tan 0x A =>，1sin cos cos sin 5m n A B A B ⋅=-=u r r ①()3sin sin cos cos sin 5A B A B A B +=+= ②∴①+②得21sin cos ,cos sin 55A B A B ==， ……4分 ∴tan cot 2A B =，故tan 2xB =，又()2tan 332tan 1tan 2412x x x B x A B x x B x x +++====----⋅即2420x x --=∴2x =tan 2A = ……4分18．解：（Ⅰ）()()3225520.810.80.05P C =⋅⋅-≈ ……4分 （Ⅱ）()()()()5411555510110.810.80.810.80.99P P C C --=-⋅⋅--⋅⋅-≈……4分 （Ⅲ）所求概率为()3140.810.80.80.02C ⋅⋅-⋅≈ ……4分19．解：（Ⅰ）∵1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1AA ⊥平面ABCD ，又,AB AD CB CD ==，∴AC BD ⊥，AC 是1A C 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理知1A C BD ⊥ ……3分 （Ⅱ）连接11,A E C E ，∵E 为AC 与BD 的交点且AC BD ⊥，∴11,A E BD C E BD ⊥⊥，∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角， ……2分∵AB BC ⊥，∴AD DC ⊥，∴11190A D C ADC ∠=∠=o,又∵111112,A D AD C D CD AA AC BD =====⊥, ∴114,1,3AC AE EC ===，∴12A E =，1C E =在△11A EC 中，2221111AC A E EC =+,∴1190A EC ∠=o ,∴二面角11A BD C --为90o……3分 （Ⅲ）∵AD DC ⊥，∴AD ⊥平面1CD ，过B 作BF AD ∥交CD 于F ，则1FBC ∠为所求的角，BF ⊥平面1CD ，∵2,,AD AB AD DC AC BD ==⊥⊥,∴CD CB ==∴60BCD ∠=o,在Rt △BCF 中sin 603BF BC ==o ,∵1BC =∴11cos BF FBC BC ∠==∴AD 与1BC所成角的余弦值为5……4分 20．解：（Ⅰ）设函数()3221233f x x ax a x b =-+-+ ()01,a b R <<∈ ()2243f x x ax a '=-+-，令()0f x '>得()f x 的单增区间为(),3a a ，令()0f x '<得()f x 的单减区间为(),a -∞和()3,a +∞，()()343f x f a a b ==-+极小值，()()3f x f a b ==极大值 ……4分（Ⅱ）由()f x a '≤得2243a x ax a a -≤-+-≤ ① ……2分∵01a <<,∴12a a +>,∴()2243f x x ax a '=-+-在[]1,2a a ++上是减函数，∴当[]1,2x a a ∈++时，()()max 121f x f a a ''=+=-，()()min 244f x f a a ''=+=-，于是对任意的[]1,2x a a ∈++，不等式①恒成立等价于4421a a a a -≤-⎧⎨≥-⎩， ……4分∴415a ≤≤，又∵01a <<，∴415a ≤< ……2分 21．解：（Ⅰ）设AB 所在直线方程为y kx m =+，抛物线方程为22x py = ()0p >且()()1122,,,A x y B x y ，由题目可知120,0x x ><，∴124x x k -=即124x x k +=，把y kx m =+代入22x py =整理得2220x pkx pm --=，∴1224x x pk k +==，∴2p =，∴所求抛物线方程为24x y = ……4分 （Ⅱ）设22334411,,,44C x x D x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过抛物线上,C D 两点的切线方程分别为2331124y x x x =- 2441124y x x x =- ∴两条切线的交点M 的坐标为3434,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭， ……2分 设CD 所在直线方程为1y nx =+，代入24x y =得2440x nx --=，∴344x x =-，∴M 的坐标为34,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为1y =-， ……2分又∵22334411,1,,144FC x x FD x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴()22223434341111444FC FD x x x x x x ⋅=+⋅-++u u u r u u u r()()22223434341111244x x x x x x =+-++=-+-， ……2分 而222234343424424x x x x x x FM +++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u u r ()2234124x x =++， ∴21FC FD FM⋅=-u u u r u u u r u u u u r ……2分22．解：（Ⅰ）当x A ∈即01x <<时，m N +∈可知10m x +->，∴01mxm x>+-，又()()111011m x mx m x m x +--=<+-+-，∴11mx m x<+-即()f x A ∈，故对任意0x A ∈，有()10x f x A =∈，由1x A ∈可得()21x f x A =∈， 由2x A ∈可得()32x f x A =∈，依次类推可一直继续下去，从而产生一个无穷数列{}n x ……4分 （Ⅱ）由()11n n n n mx x f x m x +==+-可得11111n n m x m x m++=⋅-， ∴111n n m a a m m ++=-，即()1111n n m a a m++-=-，令1n n b a =-， 则111111211,111n n m m m b b b a m x m m++++==-=-=-=，∴{}n b 为等比数列，∴111n n m b b m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即11nn m a m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……4分（Ⅲ）即证13114mm ⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭，需证1213mm ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭，当m N +∈时有010111111112mm m m m m m mC C C C C m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅++⋅≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 当2k ≥时，由()()1111111!!1kk m km m m k C m m k k k k --+⎛⎫⋅=⋅<≤- ⎪-⎝⎭L ∴当2m ≥时11111111111332231mm m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<++-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 又1m =时12123mm ⎛⎫≤+=< ⎪⎝⎭，∴对任意的m N +∈都有1143m x <≤ ……6分。