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CDNMOBA福建省高考数学（理科）-专题练习

平面向量与复数

一、选择题．共6小题，每小题6分，共36分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设i为虚数单位，则2(1i)=1+i（ ）

A．1i B．1+i C．i D．i

3．平面向量(1,2)a，(4,2)b，()cmabmR且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m（ ）

A．2 B．1 C．1 D．2

4．设i为虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若=1+iz，则iizz（ ）

A．1i B．2i C．i D．i

5．已知,ab是单位向量，0ab．若向量c满足||1cab，则||c的取值范围是（ ）

A．[21,2+1] B．[21,2+2] C．[1,2+1] D．[1,2+2]

6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若6OA，则MDNC的值是（ ）

A．2 B．10 C．26 D．28

二、填空题．共4小题，每小题6分，共24分.

7．已知i为虚数单位，复数3+2i23i的模为________．

8．已知向量=(1,1)a，(1,1)b若kab与a垂直，则实数k的值是________．

9．复数2i1+2ia（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值是________．

10．已知梯形ABCD中，ABDC∥，12ADDCCBAB，P是BC边上一点，且APxAByAD．当P在BC边上运动时，xy的最大值是________．

三、解答题．共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

11．（本小题满分10分）

已知复数1+iz（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若2+2(+2)azbzaz成立，求实数a，b的值．

12．（本小题满分15分）

已知a，b是两个单位向量．

（Ⅰ）若|32|3ab，试求|3+|ab的值；

（Ⅱ）若a，b的夹角为60，试求向量2+mab与23nba的夹角．

13．已知向量(3,1)a，13(,)22b，存在非零实数k和t，使得向量2+(3)txab，+ktyab， - 2 - / 6

且xy．问2ktt是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由．

福建省高考数学（理科）-专题练习

平面向量与复数

答 案

一、选择题

1~5．BADCA

6．C

二、填空题

7．2

8．0

9．4

10．32

三、解答题

11．解：由1+iz，可知1iz，代入2+2(+2)azbzaz得：

2(1+i)+2(1i)[+2(1+i)]aba，即2+2+(-2)i(+2)4+4(+2)iababaa

则2+2+2424(+2)abaaba，解得42ab或21ab．

12．解：（Ⅰ）∵a，b是两个单位向量，∴||||1ab，又|32|3ab，

∴229||12+4||9aabb，即13ab．

∴221|3+|9||+6+||91+6+1233abaabb．

（Ⅱ）2221(2+)4||+4+||41+4+172|m|abaabb，

2221(23)4|12+9||412+972|n|bab|aba，

227(2+)(23)2||+6||2mnabbababa， - 3 - / 6 712cos277mn|m||n|，∵0180，∴夹角120．

13．解：由已知得， ||2a，||1b，0ab。由xy得，2[+(3)](+)0tktabab，

即23+(+3+)+(3)0ktkktttaaabbb，

所以34+30ktt，334ttk，

所以22+17(+43)44ktttt，

所以当2t时，2+ktt有最小值74． - 4 - / 6

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平面向量与复数

解 析

一、选择题

1．由题意-1-i，其对应的点坐标为2(1-)-2-1-1+1+iiziii，位于第二象限，故选B．

2．2(1-i)-i(1-i)-1-1+ii，故选A．

3．由||||||||cacbcacb得5+88+20525mm，2m，故选D．

另解：OA、OB关于直线yx对称，故点C在直线yx上，2m，故选D．

4．1+i+iz+(1-)1-++12iziiiii，故选C．

5．设(1,0)a， (0,1)b，(,)xyc，则22(-1)+(-1)1xy。

设1+cos,x 1+siny，则22||+3+22sin(+)4cxy，故21|c|21，故选A．

另解：由||2a+b，又|-(+)|1cab，可以在单位圆中解得2-1||2+1c，故选A．

6．+MDMOOD，+NCNOOC，所以(+)(+)+++-4+12+1826MDNCMOODNOOCMONOMOOCODNOODOC

另解：以O为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则(2,0)N、(2,0)M、(3,33)C、(3,-33)D，(-1,33)MD，(1,33)MC，故26MDMC，故选C．

二、填空题

7．因为3+2i(3+2i)(2+3i)i,2-3i2-3i2+3i)（）(所以其模为1．

另解：3+2i|3+2i|13||12-3i|2-3i|13 ．

8．-(+1,-1)kkkab，(-)+1+-120kkkkabb，0k．

9．-2i(-2i)(1-2i)-42+2-i1+2i(1+2i(1-2i))55aaaa，因复数-2i1+2ia（i是虚数单位）是纯虚数，故212aii - 5 - / 6

．

10．设BPtBC，则1+++(++)(1-)+2APABBPABtBCABtBAADDCtAB，故13+1+22xyt．

三、解答题

11．解：由1+iz，可知1-iz，代入2+2(+2)azbzaz得：

2(1+i)+2(1-i)+2(1+i)aba，即2+2+(-2)i+24+4(+2)iababaa

则2+2+2-4-24(+2)abaaba，解得-42ab或-2-1ab．

12．解：（1）a，b是两个单位向量，||1a|b|，又|3-23ab|，

229||-12+4|9aabb|，即13ab。

221|3|9||6||9161233abaabb

（2）2221||(2)4||4||414172mabaabb，

2221||(23)4||129||412972nbababa，

227(2)(23)2||6||2mnabbababa，

712cos||||277mnmn，0180，夹角120．

13．解：由已知得， 2a，1b，0ab。由xy得， 2[(3)]()0tktabab，

即23(3)(3)0ktkktttaaabbb，

所以3430ktt，334ttk，

所以2217(43)44ktttt ，

所以当2t时，2ktt有最小值74． 40522054aaa - 6 - / 6