1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
[选题明细表]
基础巩固
1.已知角α的终边与单位圆交于点P(-,y),则cos α等于( B )
(A)- (B)-
(C)- (D)±
解析:由题意得r=1,
所以cos α==-.故选B.
2.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sin α的值为( A )
(A)- (B)-
(C) (D)
解析:角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),
即(,-),则由任意角的三角函数的定义,
可得sin α=-.故选A.
3.sin(-140°)cos 740°的值( B )
(A)大于0 (B)小于0
(C)等于0 (D)不确定
解析:因为-140°为第三象限角,
故sin(-140°)<0.
因为740°=2×360°+20°,
所以740°为第一象限角,
故cos 740°>0,
所以sin(-140°)cos 740°<0.故选B.
4.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边( B )
(A)在x轴上
(B)在y轴上
(C)在直线y=x上
(D)在直线y=x或y=-x上
解析:因为sin α=1或sin α=-1,
所以角α终边在y轴上.故选B.
5.下列说法正确的是( D )
(A)对任意角α,如果α终边上一点坐标为(x,y),都有tan α=
(B)设P(x,y)是角α终边上一点,因为角α的正弦值是,所以正弦值与y成正比
(C)正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零的三角函数值是零
(D)对任意象限的角θ,均有|tan θ|+||=|tan θ+|
解析:对选项A,x=0时不成立;对于选项B,sin α仅是一个比值,与P 点选取无关,不随y的变化而变化;对于选项C,一全正二正弦,三正切四余弦;对于选项D,对于象限角θ而言,tan θ和同号.故选D.
6.设α为第三象限角,且|sin|=-sin,则是( D )
(A)第一象限角(B)第二象限角
(C)第三象限角(D)第四象限角
解析:因为α是第三象限的角,所以是第二,四象限的角.
又因为|sin|=-sin,所以sin<0,所以是第四象限角.
7.已知角α的终边经过点P(x,-3),且tan α=-,则cos α等于( D )
(A)±(B)±(C)- (D)
解析:角α的终边经过点P(x,-3),
由tan α=-,可得=-,所以x=4.
所以cos α==.故选D.
8.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a等于( A )
(A)1 (B)
(C)1或(D)1或-3
解析:由题意得=,
两边平方化为a2+2a-3=0,
解得a=-3或1,而a=-3时,
点P(-3,-6)在第三象限,cos α<0,与题不符,舍去,选A.
9.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sin α-cos α的值等于
.
解析:r=OP=2,
所以sin α==,
cos α=-,
故sin α-cos α=.
答案:
10.函数y=+的值域是.
解析:要使函数y=+有意义,需
即角x的终边不在坐标轴上.
当x为第一象限角时,y=1+1=2;
当x为第二象限角时,y=-1-1=-2;
当x为第三象限角时,y=-1+1=0;
当x为第四象限角时,y=1-1=0.
所以函数y=+的值域为{-2,0,2}.
答案:{-2,0,2}
11.已知角α的终边过点(3a-9,a+2),且cos α<0,sin α>0,则实数a的取值范围是.
解析:因为cos α<0,
所以α的终边落在第二或第三象限或x轴的非正半轴上.
因为sin α>0,
所以α的终边落在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
所以α的终边落在第二象限.
故点(3a-9,a+2)为第二象限内的点,所以
解得-2<a<3.
所以实数a的取值范围是(-2,3).
答案:(-2,3)
12.设a=sin π,b=cos π,c=tan π,则a,b,c的大小顺序排列为.
解析:由如图三角函数线知:
M1P1=MP<AT,
因为π>=,
所以MP>OM,
所以cos π<sin <tan ,
所以b<a<c.
答案:b<a<c
13.已知角α终边经过点(4,m),且sin α=-,求m,cos α,tan α. 解:因为sin α=-,所以m<0,
=-,解得m=-3,
所以cos α=,tan α=-.
14.如图,已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M,点A,B在单位圆上,其中点A在第一象限,∠AOB=,记∠MOA=α.
(1)若α=,求点A,B的坐标;
(2)若点A的坐标为(,m),求sin α的值.
解:(1)若α=,
则点A(,),B(-,).
(2)因为点A(,m)在单位圆上,
所以点A的坐标为(,),
所以sin α=.
15.已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ, tan θ的值.
解:因为r=,cos θ=,所以x=.
又x≠0,则x=±1.
又y=3>0,所以θ是第一或第二象限角.
当θ为第一象限角时,sin θ=,tan θ=3;
当θ为第二象限角时,sin θ=,tan θ=-3.
能力提升
16.已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段,那么角α的终边在( C )
(A)直线y=x上
(B)直线y=-x上
(C)直线y=x上或直线y=-x上
(D)x轴上或y轴上
解析:因为角α的正切线是长度为单位长度的有向线段,
所以得tan α=±1,
故角α的终边在直线y=x上或直线y=-x上.故选C.
17.y=的定义域为( B )
(A)2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)
(B)2kπ<x<2kπ+(k∈Z)
(C)2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z)
(D)2kπ-<x<2kπ+(k∈Z)
解析:因为
所以2kπ<x<2kπ+,k∈Z.故选B.
18.若420°角的终边所在直线上有一点(-4,a),则a的值为
.
解析:由三角函数定义知,tan 420°=-,
又tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°=,
所以-=,所以a=-4.
答案:-4
19.若角α终边所在的直线经过P(cos,sin),O为坐标原点,则
|OP|= ,sin α= .
解析:|OP|==1;若P(cos,sin)在其终边上,则
sin α==;
若P(cos,sin)在其终边延长线上,
则sin α=-,综上sin α=±.
答案:1 ±
探究创新
20.已知=-,且lg cos α有意义.
(1)试判断角α是第几象限角;
(2)若角α的终边上一点是M(,m),且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解:(1)由=-,
所以|sin α|=-sin α.可知sin α<0, 由lg cos α有意义可知cos α>0,
所以角α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,
所以()2+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,故m<0,
从而m=-.
由正弦函数的定义可知
sin α====-.。