2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.6 双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．平面内到定点的距离和它到定直线的距离之比为一个常数e (e ＞1)的点的轨迹是双曲线，其中定点是一个焦点，定直线是双曲线的一条准线，这个常数e 就是双曲线的离心率．≥a ，或x ≤－a ，y ∈∈R ，y ≤－a ，或y ≥对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标： A 1____，A 2____ 顶点坐标： A 1____，A 2____ F 1(－c,0)，F 2(c,0)1(0，－c )，F 2(0，c a 2y ＝±a 2cy ＝________1．(2011安徽高考，理2)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )． A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )．A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于__________．5．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．思维拓展1．如何准确把握双曲线的定义？提示：(1)在双曲线的定义中，除了满足||PF 1|－|PF 2||＝定值，还要满足||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|且不等于零这一条件，动点P 的轨迹才是双曲线；若||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；若||PF 1|－|PF 2||＝0，则动点P 的轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线；若||PF 1|－|PF 2||＞|F 1F 2|，则动点P 的轨迹不存在．(2)若定义中的“绝对值”去掉后，则动点P 的轨迹为双曲线的一支．若|PF 1|－|PF 2|＝定值，则动点P 的轨迹为双曲线靠近F 2的一支；若|PF 2|－|PF 1|＝定值，则动点P 的轨迹为双曲线靠近F 1的一支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，应注意什么？提示：(1)用待定系数法求双曲线的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把双曲线的方程设为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．(2)若知一条渐近线方程为y ＝n m x ，则双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；若与已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1共渐近线，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．一、双曲线的定义及应用【例1－1】已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】△PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．请做[针对训练]3二、求双曲线的标准方程【例2】求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线的方程． 方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做[针对训练]4三、双曲线的几何性质【例3】已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__________．方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年高考试题的分析可以看出，对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)求双曲线的方程；(2)以双曲线的方程为载体，研究与参数a ，b ，c ，e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．针对训练1．(2011福建高考，理7)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或322．(2011山东高考，理8)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1 C ．x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1 3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，B (－1,0)，C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形．4．已知双曲线过P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点，求双曲线的标准方程． 5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±a bx 实轴 2a 虚轴 2b a b 基础自测1．C 解析：由2x 2－y 2＝8变形得x 24－y 28＝1，∴a ＝2.∴2a ＝4.2．C 解析：由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4， ∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，所以a ＝23b ＝23×3＝2.4．2 解析：由渐近线方程知b a＝3，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 5．y ＝±2x 解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1.∴其渐近线方程为y ＝±2x . 考点探究突破【例1－1】解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上． 所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 【例1－2】解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b21－cos θ.在△F 1PF 2中，由正弦定理，得12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】解：设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.【例3】62 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，由于在双曲线中c ＞b ，故在Rt △OF 1B 2中，只能是∠OF 1B2＝30°，所以b c＝tan 30°.所以c ＝3b .所以a ＝2b ，离心率e ＝c a＝3b 2b ＝62. 演练巩固提升 针对训练1．A 解析：∵|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k ，∴a ＝3k .∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32.2．A 解析：由题意得，22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.又圆C 的标准方程为22(3)x y －＋＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为22154x y -=. 3．解：∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1.即|AB |－|AC |＝1＜|BC |＝2.动点A (x ，y )符合双曲线的定义，且双曲线中的⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2c ＝2，b 2＝c 2－a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于|AB |＞|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，如图所示．4．解法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3252a 2－(－2)2b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116.即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.解法二：∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． ∵P 1，P 2在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为－116x 2＋19y 2＝1，即y 29－x216＝1.5．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。