2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011安徽高考，文1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D ．122．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )．A ．12B ．23C ．34D ．453．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )．4．下面程序运行的结果是( )．A ．5 050B ．5 049C ．3D ．2 5．下列推理是归纳推理的是( )．A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a ＞|AB |，得动点P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 的共轭复数所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，程序框图的输出结果为170，那么在判断框中①表示的“条件”应该是( )．A ．i ＞5B ．i ≥7C ．i ≥9D ．i ＞98．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( )．A ．2n －2－12B ．2n－2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－49．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝12r (a ＋b ＋c )．根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积为( )．A ．V ＝16R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)B ．V ＝14R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)C ．V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)D ．V ＝12R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)10．(2011山东高考，理12)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝__________.12．定义某种运算⊗，S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示．则0⊗(－1)＝__________；设f (x )＝(0⊗x )x －(2⊗x )，则f (1)＝__________.13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中正确的序号为__________(填入所有正确的序号)． 14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |OA ＋|OA |OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC OA ＋S △OCA OB ＋S △OBA OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．15．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，将上述各式相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1.类比上述方法，请计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知集合A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}(其中i 是虚数单位)，集合B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}．求实数a 的值．17．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <0，2－5x ，x ≥0，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．18．(12分)已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①sin θcos θ＝sin 2β，②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).19．(12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB＝2i ＋2j (i ，j 分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g (x )＝x 2－x －6. (1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数g (x )＋1f (x )的最小值．20．(13分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数，且都不为零．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．21．(14分)如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD ＝CD ＝12AB ，且O 为AB 中点．(1)求证：BC ∥平面POD ； (2)求证：AC ⊥PD .参考答案一、选择题1．A 解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴2－a 5＝0，∴a ＝2.2．C 解析：n ＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34.3．A 解析：表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．A 解析：读程序知，该程序的功能是求S ＝1＋2＋3＋…＋100的值，由等差数列的求和公式S ＝100×(1＋100)2＝5 050.5．B 解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．A 解析：由已知得z (1＋i)－(1＋2i)·(1－i)＝0，∴z ＝(1＋2i)(1－i)1＋i＝(1＋2i)(－i)＝2－i.∴z ＝2＋i ，即z 对应的点(2,1)在第一象限．7．C 解析：依次运行程序可得当S ＝2时，i ＝3；S ＝10时，i ＝5，…；S ＝170时，i ＝9，故判断框内可填入i ≥9.8．B 解析：∵a 1＝0＝21－2，∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n－2.9．C 解析：平面几何中结论的推导是面积分割，类比到空间几何中，应用体积分割的方法即可得到答案．10．D 解析：∵C ，D 调和分割点A ，B ， ∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)， 则C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，若C 为AB 的中点，则AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义的，故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点，则μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确． 二、填空题11．1 解析：41i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝42(1i)(1i)(1i)⎡⎤+⎢⎥+-⎣⎦＝i 4＝1.12．1 －1 解析：根据框图可知0(－1)＝|－1|＝1；f (x )＝(0x )x －(2x )⇒f (1)＝(01)－(21)＝0－1＝－1.13．①③ 解析：因为7＝1×7，所以f (7)＝17，①正确；24＝3×8＝4×6＝2×12，最佳分解应该是4×6，所以f (24)＝46＝23，所以②错误；同理③正确；对于④，144＝12×12，所以f (144)＝1212＝1.14．V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0 解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为O 是四面体ABCD内一点，则有V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0.15．n 2＋3n4(n ＋1)(n ＋2)解析：∵1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)， ∴11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2) ＝n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2). 三、解答题16．解：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A .∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.17．解：算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x ＜0，那么f (x )＝3x －1； 否则f (x )＝2－5x .第三步，输出函数值f (x )． 程序框图如下：18．证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1.③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．19．解：(1)由已知得k ≠0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，B (0，b )，则AB ＝(bk，b )，于是⎩⎪⎨⎪⎧b k＝2，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2.(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4. g (x )＋1f (x )＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－5， 由于x ＋2＞0，则g (x )＋1f (x )≥－3，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立． ∴g (x )＋1f (x )的最小值是－3.20．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 21．证明：(1)因为O 为AB 中点，所以BO ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ， 所以ODCB 为平行四边形， 所以BC ∥OD .又DO ⊂平面POD ，BC 平面POD ， 所以BC ∥平面POD . (2)连接OC .因为CD ＝BO ＝AO ，CD ∥AO ， 所以ADCO 为平行四边形，又AD ＝CD ，所以ADCO 为菱形，所以AC ⊥DO ，因为在正△PAB 中，O 为AB 中点， 所以PO ⊥AB .又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB ＝AB ，所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AC . 又PO ∩DO ＝O ， 所以AC ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD .。