直线的方程注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x 轴或垂直于y 轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x 轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x 轴正半轴的夹角．取值范围：),0[πθ∈；（2）直线的斜率：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=2),2()2,0[,tan πθπππθθ不存在， k ；00200tan [0,)(,)22202k k k k k πθθππθππθπθπ⎧>⇔<<⎪⎪=⇔=⎪⎪=⎨⇔⎪⎪⎪<⇔<<⎪⎩在和上单调递增不存在=．（3）若直线过点),(11y x ，),(22y x ，则该直线的斜率⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=21211212,xx x x x x y y k 不存在，，R k ∈．3、两条直线的位置关系：已知0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，则（1）系数法：①0212121=+⇔⊥b b a a l l ；特别地，若1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，则12121l l k k ⊥⇔⋅=-；②1l 与2l 相交⇔1221a b a b ≠；③1l 与2l 重合⇔111222::::a b c a b c =；④1l 与2l 平行⇔112211221122::::::a b a b a c a c b c b c =⎧⎨≠≠⎩或．（2）向量法：已知1l 的法向量为111(,)n a b = ，2l 的法向量为222(,)n a b =，则①12l l ⊥⇔120n n ⋅=⇔12120a a b b +=；特别地，若1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，则12121l l k k ⊥⇔⋅=-；②1l 与2l 相交⇔12n n与不平行⇔1221a b a b ≠；③1l 与2l 平行或重合⇔12n n与平行⇔1221a b a b =．（3）行列式法：已知1122a b D a b =，1122x c b D c b -=-，1122y a c D a c -=-，则11l 与2l相交⇔0D ≠；②1l与2l重合⇔0x y D D D ===；③1l 与2l平行⇔0x y D D D =⎧⎪⎨⎪⎩、不全为零．4、两条相交直线0:1111=++c y b x a l 和0:2222=++c y b x a l 的夹角θ：（1）若1l 、2l 的法向量分别为112(,)n a b = 、222(,)n a b = ，且1l 、2l 的方向向量分别为1d 、2d，则1212cos n n n n θ⋅==⋅ 或1212cos d d d d θ⋅=⋅ ，[0,]2πθ∈；（2）若1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，且1l 到2l 的角为1θ，2l 到1l 的角为2θ，则2,0[,1tan 2121πθθ∈+-=k k k k ；211211tan k k k k +-=θ，212121tan k k k k +-=θ．5、点到直线的距离公式：（1）点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=；（2）直线0:11=++C By Ax l 与直线0:22=++C By Ax l 的距离为2221BA C C d +-=．6、直线:0l Ax By C ++=同侧/异侧：（1）00000(0)(,)Ax By C A P x y ++>>⇔在直线:0(0)l Ax By C A ++=>的右侧；00000(0)(,)Ax By C A P x y ++<>⇔在直线:0(0)l Ax By C A ++=>的左侧．（2）点11(,)M x y 、22(,)N x y 在直线l 同侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++>；点11(,)M x y 、22(,)N x y 在直线l 异侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++<．7、点关于直线的对称问题：点),(00y x P 直线x 轴y 轴xy =xy -=mx =n y =对称点),(00y x P -'),(00y x P -'),(00x y P '),(00x y P --'),2(00y x m P -')2,(00y n x P -'补充：①点),(00y x P 关于直线y x b =+的对称的点为00(,)P y b x b '-+；②点),(00y x P 关于直线y x b =-+的对称的点为00(,)P b y b x '--；③点),(00y x P 关于直线0Ax By C ++=的对称点(,)P m n '满足0000()()022A n yB m x m x n y A BC -=-⎧⎪⎨++⋅+⋅+=⎪⎩．或者(,)P m n '，其中0002202,2m x AD Ax By CD n y BDA B =-⎧++=⎨=-+⎩．8、三线共点问题：三条互不平行的直线1111:0l a x b y c ++=，直线2222:0l a x b y c ++=，直线3333:0l a x b y c ++=共点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =．9、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为0k （常数）的直线系：0y k x b =+（b 为参数），例：b x y +=2；②平行于直线000=+y B x A 的直线系：)(000为参数C C y B x A =++．（2）过已知点的直线系：①以斜率k 作为参数的直线系：)(00x x k y y -=-，直线过定点),(00y x ；②以斜率k 作为参数的直线系：0b kx y +=，直线过定点),0(0b ．③过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系：)(0)(222111为参数λλ=+++++C y B x A C y B x A ．注意：对于①②，过定点且平行于y 轴或与y 轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线2l 不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l 上动点P ，两个定点A 、B ，求PA PB +的取值范围．A 、B 在l 的取值范围解答步骤（2）定直线上动点与两定点距离差：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为1d、2d，直线AB与直线l的夹角为θ，求PA PB-的取值范围．A、B在l的1d与2d的大小关系取值范围解答步骤同侧12d d>(cos,AB ABθ-⎤⎦①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．12d d=(),AB AB-/12d d<),cosAB ABθ⎡-⎣①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．异侧12d d>(cos,A B A Bθ''-⎤⎦①作点A关于l的对称点A'；②联结A B'并延长交l于M；③点M为最大值状态点．12d d=(),A B A B''-/12d d<),cosA B A Bθ''⎡-⎣①作点A关于l的对称点A'；②联结BA'并延长交l于M；2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线),(=yxF对称轴x轴y轴xy=xy-=mx=ny=曲线),(=-yxF0),(=-yxF0),(=xyF0),(=--xyF0),2(=-yxmF0)2,(=-ynxF补充：①曲线0),(=y x F 关于y x b =+对称的曲线方程为(,)0F y b x b -+=；②曲线0),(=y x F 关于y x b =-+对称的曲线方程为(,)0F b y b x --=．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线),(=y x F ),(n m 0)2,2(=--y n x m F 3、轴对称的曲线：曲线0),(=y x F 对称轴x y =x y -=mx =ny =条件(,)(,)F y x F x y =(,)(,)F y x F x y --=(2,)(,)F m x y F x y -=(,2)(,)F x n y F x y -=补充：①(,)(,)F a x y F b x y +=-⇒(,)0F x y =关于2a bx +=对称。

②(,)(,)F x a y F x b y +=-⇒(,)0F x y =关于2a by +=对称。

③(,)(,)F a x y F a x y +=-⇒(,)0F x y =关于x a =对称。

④(,)(,)F x a y F x a y +=-⇒(,)0F x y =关于y a =对称。

⑤(,)(,)F x y F x y =-⇒(,)0F x y =关于y 轴，即0x =对称。

⑥(,)(,)F x y F x y =-⇒(,)0F x y =关于x 轴，即0y =对称。

4、中心对称的曲线：曲线0),(=y x F 对称轴(,)m n 条件(2,2)(,)F m x n y F x y --=补充：①(,)(,)F a x c y F b x d y ++=--⇒(,)0F x y =关于点,22a b c d ++⎛⎫⎪⎝⎭对称。

②(,)(,)F a x y F b x y +=--⇒(,)0F x y =关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称。

③(,)(,)F x c y F x d y +=--⇒(,)0F x y =关于点0,2c d +⎛⎫⎪⎝⎭对称。

④(,)(,)F x y F x y =--⇒(,)0F x y =关于点()0,0对称。

5、平移的规律：“左加右减，下加上减”．曲线向左平移k向右平移k向上平移h向下平移h备注),(=y x F 0),(=+y k x F 0),(=-y k x F 0),(=-h y x F 0),(=+h y x F 0,>h k 平移向量(,0)k -(,0)k (0,)h (0,)h -6、伸缩的规律：“倍数与系数互为倒数”．曲线方程纵坐标不变，横坐标变为原来的ω倍横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍备注(,)0F x y =1(,)0F x y ω=1(,)0F x y A=,0A ω>7、翻折：曲线翻折后翻折过程),(=y x F 0),(=y x F 将0),(=y x F 在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边，并覆盖y 轴左边原来的图像．),(=y x F 将0),(=y x F 在x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边并覆盖x 轴下边原来的图像．),(=y x F ①将(,)0F x y =在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边，并覆盖y 轴左边原来的图像，变换为(,)0F x y =；②将(,)0F x y =在x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边，并覆盖x 轴下边原来的图像，变换为(,)0F x y =．（二）圆的方程1、圆的方程：圆的方程形式圆心坐标半径标准方程222)()(r b y a x =-+-),(b a r2、圆的一般方程的判别式：判别式图像轨迹0422>-+F E D 表示以点)2,2(ED --为圆心坐标，以2422F E D -+为圆的半径的圆．0422=-+F E D 表示点)2,2(E D --．0422<-+F E D 不表示任何图形．3、判断点00(,)M x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系：点00(,)M x y 在圆外22200()()x a y b r -+->点00(,)M x y 在圆上22200()()x a y b r -+-=点00(,)M x y 在圆内22200()()x a y b r -+-<注意：圆的一般方程亦可使用上述结论．4、圆的切线的相关问题：（1）过圆222)()(rb y a x =-+-上点),(00y x 与圆相切直线方程：200))(())((r b y b y a x ax =--+--；（2）过圆022=++++F Ey Dx y x 上点),(00y x 与圆相切直线方程：0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+=．（3）斜率为k 且与圆222x y r +=相切的切线方程为y kx =±；（4）斜率为k 且与圆222)()(r b y a x =-+-相切的切线方程的求法：①设切线为y kx m =+，则一般是为0kx y m -+=；②利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求m r =．（5）当点00(,)P x y 在圆外时，求过点P 且与圆222)()(r b y a x =-+-相切的切线方程的求法：①可设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到直线之间的距离等于半径，即d r =，求出k ；或者利用0∆=，求出k ；②若求得k 只有一值，则还应该有一条斜率不存在，即0x x =，此时应补上．5、求过圆外给定点作圆的切线的两个切点所在直线：（1）在圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x 引该圆的两条切线，且两切点为A 、B ，则A B、两点所在直线的方程：200))(())((r b y b y a x a x =--+--．（2）在圆022=++++F Ey Dx y x 外一点),(00y x 引该圆的两条切线，且两切点为A 、B ，则A B 、两点所在直线的方程：0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+=．6、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线与圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆的交点分别为(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，则弦长A B A B AB x x y =-=-．其中A B x x -，A B y y -的求法是将直线和圆的方程组联立消去y 或x ，利用韦达定理求解．7、圆系方程：经过两个定点A 、B 的圆有无数多个，那么表示这无数多个圆的方程称为圆系方程．（1）经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，其中R λ∈．（2）经过圆221111:0C x y D x E y F ++++=与圆222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，其中R λ∈，且1λ≠-，同时不包括圆2C ．当1λ=-时，方程变为121212()()0D D x E E y F F -+-+-=，表示两圆的公共弦所在直线方程．（三）椭圆1、椭圆的定义：平面内一动点P 到两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数a 2，即122PF PF a+=212F F a >以1F 、2F 为焦点，长轴长为a 2的椭圆212F F a =线段21F F 212F F a <不存在2、椭圆的图像和性质：椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 图像性质范围b y b a x a ≤≤-≤≤-,ay a b x b ≤≤-≤≤-,对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a -，)0,(a ，),0(b -，),0(b ),0(a -，),0(a ，)0,(b -，)0,(b 焦点)0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 两轴长轴长为a 2，短轴长为b2焦距cF F 221=222b a c -=焦点三角形面积公式122tan2F PF S b θ=△(12F PF θ=∠，P 为椭圆上一动点)通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆截得的线段的长度为22b a续上表椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 图像性质离心率（非上海）离心率：ace =，且10<<e ，e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越鼓准线（非上海）ca x 2±=2a y c=±焦半径2100()a PF e x a ex c =+=+，2200()a PF e x a ex c=-=-．2100()a PF e y a ey c =+=+，2200()a PF e y a ey c=-=-．1max PF a c =+（此时P 与右顶点重合），1min PF a c =-（此时P 与左顶点重合）．1max PF a c =+（此时P 与上顶点重合），1min PF a c =-（此时P 与下顶点重合）．222212021cos b PF PF a e x θ⋅=-=+(12F PF θ=∠，P 为椭圆上一动点)222212021cos b PF PF a e y θ⋅=-=+(12F PF θ=∠，P 为椭圆上一动点)212max ()PF PF a ⋅=（此时，P 与上顶点或下顶点重合）212max ()PF PF a ⋅=（此时，P 与左顶点或右顶点重合）212max ()PF PF b ⋅=（此时，P 与左顶点或右顶点重合）212max ()PF PF b ⋅=（此时，P 与上顶点或下顶点重合）3、点差法：已知椭圆22221(,0,)x y a b a b a b+=>≠与直线l 相交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，将②①-，可得2121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=--．4、椭圆的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的内部⇔2200221x y a b +<；点00(,)P x y 在椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的内部⇔2200221y x a b +<．（2）点00(,)P x y 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的外部⇔2200221x y a b +>；点00(,)P x y 在椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的外部⇔2200221y x a b+>．5、直线与椭圆位置关系的相关结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=；椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221y y x xa b +=．（2）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=；过椭圆22221(0)y x a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221y y x xa b +=．（3）椭圆与直线的位置关系判定方法：位置关系直线0()Ax By C A B ++=、不全为零与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 22221(0)y x a b a b +=>>相切22222A aB bC +=22222B a A bC +=（4）AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即2020AB b x k a y =-．（5）已知直线y kx =与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，点P 是椭圆上异于A 、B的任一点，且PA k 、PB k 均存在，则22PA PBb k k a⋅=-．（四）双曲线1、双曲线的定义：平面内一动点到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数a 2，即122PF PF a-=2120F F a <<以1F 、2F 为焦点，实轴长为a 2的双曲线注意：定义中“绝对值”的条件不必少，因为仅满足a MF MF 221=-的轨迹只是双曲线的一支．0=a 线段21F F 的垂直平分线212F F a =分别以1F 、2F 为端点不包括线段21F F 的两条射线212F F a >不存在2、双曲线的图像和性质：双曲线的标准方程)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图像续上表：双曲线的标准方程)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图像性质共轭双曲线双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与双曲线22221(0,0)y x a b b a -=>>互为共轭双曲线共轭双曲线的性质①相同的渐近线，有相同的焦距（焦点不同）；②它们的四个焦点在同一个圆上；③两个离心率的倒数的平方和为1，可记为2212111e e +=．等轴双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，a b =)0,0(12222>>=-b a bx a y ，a b =共渐近线的双曲线系①若共渐近线为by x a=±，则以它为渐近线的双曲线系方程可以写成3、点差法：已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>与直线l 相交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，将②①-，可得2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+．（注意：焦点在y 轴上同理．）4、双曲线的内外部：（1）点00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的内部⇔2200221x y a b ->；点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的内部⇔2200221y x a b ->．（2）点00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的外部⇔2200221x y a b -<；点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的外部⇔2200221y x a b-<．5、双曲线的切线方程：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=；双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221y y x xa b -=．（2）过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=；过双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221y y x xa b-=．（3）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b C -=；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222B a A b C -=．（4）AB 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=，即2020AB b x k a y =．（5）已知直线y kx =与)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于A 、B 两点，点P 是双曲线上异于A 、B的任一点，且PA k 、PB k 均存在，则22PA PBb k k a⋅=．（五）抛物线1、抛物线的定义：平面内一动点P 到定点F 的距离等于动点P 到定直线l 的距离定点F 在定直线l 外以定点F 为焦点，以定直线l 为准线的抛物线定点F 在定直线l 上过定点F 且与定直线l 垂直的直线2、抛物线的图像和性质：标准方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 图像性质开口方向向右向左向上向下开口大小p 越大，开口越大；p 越小，开口越小范围0≥x ，Ry ∈0≤x ，R y ∈0≥y ，Rx ∈0≤y ，Rx ∈对称性x 轴y 轴顶点原点O焦点)0,2(p F )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -准线2p x -=2p x =2p y -=2p y =通径2p焦半径02p PF x =+02p PF x =-+02p PF y =+02p PF y =-+3、抛物线的内外部：（1）点00(,)P x y 在抛物线)0(22>=p px y 的内部⇔2002y px <；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>-=p px y 的内部⇔2002y px <-；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>=p py x 的内部⇔2002x py <；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>-=p py x 的内部⇔2002x py <-．（2）点00(,)P x y 在抛物线)0(22>=p px y 的外部⇔2002y px >；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>-=p px y 的外部⇔2002y px >-；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>=p py x 的外部⇔2002x py >；点00(,)P x y 在抛物线)0(22>-=p py x 的外部⇔2002x py >-．4、抛物线的切线方程：抛物线)0(22>=p px y 在点00(,)P x y 的切线方程为00()y y p x x =+；抛物线)0(22>-=p px y 在点00(,)P x y 的切线方程为00()y y p x x =-+；抛物线)0(22>=p py x 在点00(,)P x y 的切线方程为00()x x p y y =+；抛物线)0(22>-=p py x 在点00(,)P x y 的切线方程为00()x x p y y =-+．5、抛物线的焦点弦有关的问题：已知过抛物线22y px =(0)p >的焦点(,0)2pF 作直线交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，直线PQ 的倾斜角为θ，且在该抛物线的准线上的射影是11PQ ，则（1）若直线PQ 垂直于对称轴（0y =）2p =；（2）12PQ x x p =++；2124p x x =；212y y p =-；234OP OQ p ⋅=- ；（3）1cos p PF θ=-，1cos pQF θ=+，112PF FQ p+=；证明：方法一：由cos PF p PF θ=+，cos QF p QF θ=-，可得1cos p PF θ=-，1cos pQF θ=+，于是112PF FQ p+=．方法二：12212121211112()2224x x p p pp p PF QF p x x x x x x +++=+==+++++．方法三：分别过P 、Q ，作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N ，于是FM NF PF QF =⇒PF p p QF PF QF--=⇒112PF FQ p +=．（4）求证：22sin pPQ θ=．证明：由2cot 22p x y y px θ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得222cot 0y py p θ--=．结合韦达定理，可得122cot y y p θ+=．22121222()cot 22(cot 1)2csc sin pPQ x x p y y p p p θθθθ=++=++=+==．备注：该结论可以用来解释通径为什么是最小的焦点弦．（5）求证：22sin POQp S θ=△．证明：212212sin sin 2244sin 2sin POQp p p p p S y y PQ θθθθ=⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯=△．（6）以11PQ 为直径的圆必过一定点，且该定点为(,0)2p F ，即112PFQ π∠=；证明：方法一：由题可知，圆心为12(,)22y y p +-，半径为122y y -，于是，圆的标准方程为2221212()(()224y y y y p x y +-++-=．方法二：通过110FP FQ ⋅=即可证明．（7）以PQ 为直径的圆与准线相切；（8）若经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴．证明：由112y y x x p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得21p y y -=，则21(,2p p M y --，结合212y y p =-，得证．（六）圆锥曲线的相关知识1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）△判别法：0>△⇔相交；0=△⇔相切；0<△⇔相离；（2）弦长公式：12AB x =-==12AB y =-===；（3）抛物线的点差法与椭圆、双曲线同理．2、圆锥曲线的几何观点：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)．通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形．具体而言：（1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线．（2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线．（3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆．（4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆．（5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点．（6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）．（7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线．3、圆锥曲线的焦点—准线观点：给定一点P ，一直线L 以及一非负实常数e ，则到P 的距离与L 距离之比为e 的点的轨迹是圆锥曲线．根据e 的范围不同，曲线也各不相同．具体如下：（1）0e =，轨迹退化为点（即定点P ）；（2）1e =（即到P 与到L 距离相同），轨迹为抛物线；（3）01e <<，轨迹为椭圆；（4）1e >，轨迹为双曲线．（七）参数方程1、参数方程：参数方程直线)(tan 00x x y y -=-α00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩t 是参数，t R ∈，α为倾斜角圆222)()(r b y a x =-+-cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩θ是旋转角，02θπ≤<椭圆22221(0)x y a b a b +=>>cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ是离心角，[0,2)ϕπ∈2、（理）参数方程中参数的几何意义：（1）直线的参数：t 表示有向线段0P P 的长度，其中000(,)P x y ，(,)P x y ．（2）椭圆的离心角：如图所示，在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任取一点Q ，以原点O 分别作半径为a 、b 的大小两个圆，然后作x 轴的平行线交小圆于点P ，作y 轴的平行线交大圆于点R ，于是ϕ就是图中的RPQ ∠．（3）双曲线的离心角：如图所示，如图所示，在椭圆22221(0)x y a b a b-=>>上任取一点M ，以原点O 分别作半径为b 的圆，且交x 轴于点R ，过点M 作x 轴的平行线交y 轴于L ，然后过点R 作x 轴的垂线交ML 于Q ，于是ϕ就是图中的QOR ∠．。