三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 【例1】证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin22+=++证明：左边ααααααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22+⋅+⋅=ααααααααααααcos sin 1cos sin )cos (sin cos sin cos cos sin 2sin 2224224=+=++=右边ααααααααααcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec22=-=-θθθθ和，且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22θθθθ显然0cos ≠θ，由①×θ2cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ又0≠a ，∴ab-=θcos 代入①得a a b b a 2223=+0)(222=-⇔b a ∴22b a =点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】化简)10tan 31(50sin 00+解：原式=000000010cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+ 110cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 000000000===+⋅=点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为ββα-+)(；α2可变为)()(βαβα-++；βα-2可变为αβα+-)(；α可视为2α的倍角；)45(0α±可视为)290(0α+的半角等等．【例4】（2005年全国卷）设α为第四象限角，若513sin 3sin =αα，则=α2tan _______. 解： 513tan 1tan 3tan 2tan tan 2tan sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22=+-=-+=-+=αααααααααααααααα ∴91tan 2=α 又∵α为第四象限角 ∴31tan -=α∴43tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 点评这里将α3写成αα+2，将α写成αα-2是解题的切人点．根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键．【例5】已知锐角α、β满足)cos(2csc sin βααβ+=，2πβα≠+，求βtan 的最大值及β的值。

解：∵)cos(2csc sin βααβ+= ∴αβαβsin )cos(2sin +=又αβααβααβαβsin )cos(cos )sin(])sin[(sin +-+=-+= ∴=+αβαsin )cos(2αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+ 又∵)2,0(,πβα∈，2πβα≠+，∴0cos )cos(≠+αβα等式两边同除以αβαcos )cos(+得：αβααtan )tan(tan 2-+=，即αβαtan 3)tan(=+∴33tan 32tan 2tan 31tan 2tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 2=≤-=+--+=-+=αααααβααβααβαβ βtan 在)2,0(π上是增函数，故βtan 的最大值是33，此时6πβ= 点评 已知条件中有βα,和βα+，而待求式中只有β，因此可将β拆变成已知条件中出现的角即αβαβ-+=)(．这种常用的拆变技巧要注意掌握．【例6】已知53)4cos(,434,40=-<<<<αππαππβ，135)43sin(=+βπ，试求)sin(βα+解：∵)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+∴)sin(βα+)](2cos[βαπ++-=cos -=)]4()43[(απβπ--+ )]4sin()43sin()4cos()43[cos(απβπαπβπ-++-+-=∵042434<-<-⇒<<απππαπ ∴54)4sin(53)4cos(-=-⇒=-απαππβπππβ<+<⇒<<434340，由135)43sin(=+βπ1312)43cos(-=+⇒βπ∴)sin(βα+6556)54(13553)1312(=-⋅-⋅--= 点评 研究已知角与待求式之间角的关系，以确定角的拆变的操作方式是解题的出发点，此即“变角”技巧的由来．【例7】求)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++θθθ的值解：设αθ=+015，则)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++θθθ=αααcos 3)30cos()60sin(0-+++ =0点评 这里选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一 三、“ 1 ”的代换在三角函数中，" 1 ”可以变换为 x x x x x x 222222cot csc ,tan sec ,cos sin --+ ，4tan,sin csc cos,sec ,cot tan πx x x x x ⋅⋅⋅等等，根据解题的需要，适时地将“ 1 ”作某种变形，常能获得较理想的解题方法．【例8】求αα22cos 4sin 1+=y 的最小值 解：αααααααα22222222cos )cos (sin 4sin cos sin cos 4sin 1+++=+=y 9cot tan 425tan 4cot 54tan 4cot 1222222=+≥++=+++αααααα当且仅当αα22tan 4cot =即21tan 2=α时取等号。

故所求最小值为 9 .【例9】（ 2004 年全国卷）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=最小正周期、最大值和最小值解：)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin )(2222222x x xx x x x x x x x f --=--+=212sin 41)cos sin 1(21+=+=x x x 所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41【例10】化简xx4466cos sin 1cos sin 1----解：原式=23cos sin 2cos sin 3cos sin 3cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin 2242242222266322=+=--+--+xx x x x x x x x x x点评“1=x x 22cos sin +”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛，要灵活掌握．除此以外，还经常用到： 1 =4tan 1,cot csc 1,cot tan 22παα=-=⋅x x ．灵活运用这些等式，可使许多三角函数问题得到简化．【例11】已知625tan 1tan 1+=-+αα，求αα2cos 2sin 1-的值 解：625)45tan(tan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1000+=+=-+=-+ααααα ∵625)45tan()290cos(1)290sin(2sin 12cos 000+=+=+++=-ααααα ∴62562512cos 2sin 1-=+=-αα点评这里是 1=tan α的运用．若直接从已知式中求出tan α，再用万能公式，虽然思路很直观，但却导致较复杂的运算．四、变通公式对于每一个三角公式，教材中仅给出其基本形式，但我们若熟悉其它变通形式常可以开拓解题思路．例如，由αααcos sin 22sin =可变通为αααsin 22sin cos =与αααcos 22sin sin =、由βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±，可变通为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例12】（2002·北京春·）在△ABC 中，已知三内角A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值 解：∵三内角A 、B 、C 成等差数列，且A+B+C=π，∴A+C=1200∴32tan =+CA 由两角和的正切公式：32tan2tan 12tan 2tan=-+C A C A ⇒32tan 2tan 32tan 2tan =++C A C A 点评 本例是正切公式变形的运用，在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形运用，读者要仔细体会．【例13】已知4π=+B A ，求)tan 1)(tan 1(B A ++的值解：)tan 1)(tan 1(B A ++)tan tan 1()tan tan 1)(tan()tan tan 1(tan tan B A B A B A B A B A ++-+=+++==2)tan tan 1()tan tan 1)(4tan(=++-B A B A π点评 若三角函数式中同时出现B A B A tan tan tan tan 、±，常可用)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例14】证明：ααααα4tan 42tan 2tan 8cot 8cot ++=-证明 由αααααα2cot 2tan cot tan 1tan 22tan 2=-⇒-=……………………① 同理：ααα4cot 22tan 2cot =-…………………………………………………②ααα8cot 24tan 4cot =-…………………………………………………③ ①+2×②+4×③整理得：ααααα4tan 42tan 2tan 8cot 8cot ++=-【例15】证明：521115cos 114cos 113cos 112cos11cos =πππππ证明 左边=115sin21110sin 114sin 2118sin 113sin 2116sin 112sin 2114sin 11sin 2112sinππππππππππ⋅⋅⋅⋅ 521115sin211sin 114sin 2113sin 113sin 2115sin 112sin 2114sin 11sin 2112sin =⋅⋅⋅⋅=ππππππππππ=右边 点评 应用倍角公式的变形公式来处理三角函数式的积的问题常常是一种很巧妙的解题方法．五、升幂与降次分析题目的结构，掌握结构的特点，通过升幂、降次等手段，为使用公式创造条件，这也是三角变换的重要技巧．利用余弦的倍角公式可知2cos 12cos2αα+=，2cos 12sin 2αα-=，这样可以用倍、半角公式来升幂（从右到左）和降次（从左到右） 【例16】 .已知)sin(3)csc(βαβα+=-，求αβα422cos sin 2sin 41++ 解：αβα422cos sin 2sin 41++=22)22cos 1(22cos 12sin 41αβα++-+)2cos 2(cos 2121)2cos 2sin 4122βααα++++=)sin()sin(1βαβα-+-=由)sin(3)csc(βαβα+=-得31)sin()sin(=-+βαβα∴原式=32311=-点评 遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．【例17】 （ 2002 年全国卷）已知))2,0((12cos cos 2sin 2sin 2πααααα∈=-+，求αsin 和αtan 的值解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα得0)2cos 1(cos sin 2cos sin 4222=+-+ααααα∴0cos 2cos sin 2cos sin42222=-+ααααα ∴0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα即0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈ ∴1sin ,0cos -≠≠αα ∴01sin 2=-α即21sin =α6πα=⇒33tan =⇒α点评 观察题设条件和待求的函数值，会发现题设条件中为倍角，而待求函数为单角，所以使用半角公式升幂，并通过因式分解使问题得以迅速解决．【例18】证明：A A A A 3sin 43)240(sin )120(sin sin 03033-=++++ 证明 左边)]3360sin()120sin(3[41)3sin sin 3(4100A A A A +-++-=)]3720sin()240sin(3[410A A +-++)120sin([sin 430A A ++=)]240sin(0A ++－A 3sin 43A A A A A A 3sin 43)]sin 21cos 23()sin 21cos 23([sin 43-+--+= =-=A 3sin 43右边点评 根据三倍角公式，有)3cos cos 3(41cos ),3sin sin 3(41sin 33αααα-=-=也常用来降次．有些数学竞赛题中经常用到此技巧方法．六、引入辅助角当b a ,均不为零时．利用)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ϕ为辅助角且满足2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ）来作变换也是常用方法．【例19】 （2005 年辽宁卷）如图 10一1，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 y > x > 0 .（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；(θ为何值时，十字形的而积最大？最大面积是多少？ 解（ I ）设 S 为十字形的面积，依题意有)24(cos cos sin 2222πθπθθθ<<-=-=x xy S（Ⅱ）化简S 的表达式21)2sin(25212cos 212sin cos cos sin 22--=--=-=ϕθθθθθθS其中552arccos =ϕ，当1)2sin(=-ϕθ即22πϕθ=-时，S 最大所以，当552arccos 214+=πθ时，S 最大，最大值为215-点评 在求三角函数的极值时经常通过引人辅助角后利用三角函数的有界性求解． 【例20】（200 ，年全国卷）若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40则（ ）（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （Ｄ）2>ab解：)4sin(2),4sin(2πβπα+=+=b a∵⇒<<<40πβα2444ππβπαπ<+<+<又x y sin =在)2,0(π上是增函数，∴)4sin(2)4sin(2πβπα+=<+=b a故选A点评 比较大小，一般可作差比较，但运算量较大．这里由于b a 、均为x n x m cos sin +型，所以可引入辅助角，这是处理此类问题的常用技巧． 七、平方消元有时将某些式子平方后再相减（加）可消去一些项，使所求问题变得更简单明了．【例21】（2005年南昌市模拟题）设βα、为锐角，且)cos ,(sin αα-=，)22,66(),sin ,cos (=+-=ββ，求⋅和)cos(βα+的值。