2
B． ab 的最小值是 1 8
D． 1 + 1 的最小值是 4 2 ab
11．据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到 2020 年甚至要达到
每 73 天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已
知 2000 年底，人类知识总量为 a ，假如从 2000 年底到 2009 年底是每三年翻一番，从 2009 年底到 2019 年
19．（本小题满分 12 分）已知直线 l 与抛物线 C : y2 = 4x 交于 A ， B 两点． （1）若直线 l 的斜率为-1，且经过抛物线 C 的焦点，求线段 AB 的长； （2）若点 O 为坐标原点，且 OA ⊥ OB ，求证：直线 l 过定点．
20．（本小题满分 12 分）在正三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AB = AA1 = 2 ，点 P ， Q 分别为 A1B1 ， BC 的中
又因为 a3 = 6 ，所以 d = −2 ．所以 an = −2n + 12 ．
5分
又因为 bn = 2an ，所以 bn = 2−2n+12 = 212 2−2n ，
10 分
( ) Tn = b1 + b2 + + bn = 212
4−1 + 4−2 + + 4−n
=
212
1 4
设
A(
x1,
y1
)
，
B
(
x2 ,
y2
)
，由
y = −x + y2 = 4x
1
得：
x2
−
6x
+
1
=
0
，
2分
可得 x1 + x2 = 6
4分
由抛物线定义可得| AB |= x1 + x2 + 2 ，所以| AB |= 8
6分
（2）证明：设直线 AB 方程为：x = my + n ，设 A( x1, y1 ) ，B ( x2, y2 ) ，因为 OA ⊥ OB ，所以 OA OB = 0 ．所
问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，a3 = 6 ，________，若数列bn 满足 bn = 2an ，求数列bn 的
前 n 项和 Tn ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）已知 m, n, a R ，函数 f (x) = x3 − 3x2 的单调递减区间 A = [m, n] ，区间 B = [2a −1, a + 3] ． （1）求 m 和 n 的值； （2）“ x A ”是“ x B ”的充分条件，求 a 的取值范围．
6分
（2） B = [2a −1, a + 3] ，有 2a − 1 a + 3得 a 4 ．
又 x A 是 x B 的充分条件，可知 A B ，
a 4
有
a + 3 2 2a −1 0
，得
−1
a
1 2
，故实数
a
的取值范围为
−1,
1 2
12 分
19．解：（1）抛物线为 y2 = 4x ，所以焦点坐标为 (1,0) ，直线 AB 斜率为-1，则直线 AB 方程为：y = −x + 1，
1．命题“ x R ， x2 + x + 1 0 ”的否定是（ ）．
A． x R ， x2 + x + 1 0
B． x R ， x2 + x + 1 0
C． x R ， x2 + x + 1 0
D． x R ， x2 + x + 1 0
2．函数 y = x + 16 ， x (−2, +) 的最小值是（ ）． x+2
底是每一年翻一番，2020 年（按 365 天计算）是每 73 天翻一番，则下列说法正确的是（ ）．
A．2006 年底人类知识总量是 2a
B．2009 年底人类知识总量是 8a
C．2019 年底人类知识总量是 213 a
D．2020 年底人类知识总量是 218 a
12．下列曲线中，与直线 l : 2x − y + 3 = 0 相切的是（ ）．
2020-2021 学年第一学期期末调研考试 高二数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
= 4 4n −1 ． 3
10 分
（2）选择②，设公差为 d 因为 S5 = 6a2 ，所以可得 5a3 = 6a2
又因为 a3 = 6 ，所以 a2 = 5 ，所以 d = 1 ，所以 an = n + 3 ．
5分
又因为 bn = 2an ，所以 bn = 2n+3 = 8 2n ，
所以数列bn 是以 16 为首项，2 为公比的等比数列，
+
1 42
+
+
1 4n
=
212
1 4
1
−
1 4
1− 1
n
=
212 3
1 −
1 4
n
．
4
10 分
18．解：（1） f (x) = 3x2 − 6x
2分
由 f (x) 0 ，有 3x2 − 6x 0 ，得 0 x 2
又 f (x) = x3 − 3x2 的单调递减区间为 A = [m, n] ，所以 m = 0 ， n = 2 ．
8．已知函数 f (x) = ln x − a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）． x
A． (0,e)
B． (−,e)
C．
0,
1 e
D．
−,
1 e
二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求．全选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9．已知曲线 C : mx2 + ny2 = 1(m, n R) ，则下列说法正确的是（ ）．
A．曲线 C1 : y2 = 24x
C．曲线 C3
: x2
−
y2 4
=1
B．曲线 C2 : y = ln 2x + 4 D．曲线 C4 : y = 2x3 − 5x2 + 6x + 2
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．函数 f (x) = (x + 1) ex 的最小值是________．
（2）过点 F 作两条互相垂直的弦 AB ， CD ，设 AB ， CD 的中点分别为 P ， Q ，求 FPQ 面积的最大
值．
22．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = x2 + bx + c ， g(x) = ln x ． （1）令 h(x) = f (x) + g (x) ，求函数 h(x) 的单调递增区间； （2）当 b = −1， c 0 时，求证：与函数 f (x) ， g(x) 图象都相切的直线 l 有两条．
直，则| a |= （ ）．
A．4
B． 2 2
C．2
D． 3
6．某港口在一天 24 h 内潮水的高度 S （单位： m ）随时间 t （单位： h ； 0 t 24 ）的变化近似满足关
系式
S (t )
=
3sin
12
t
+
5 6
，则
17
点时潮水起落的速度是（
）．
A． m/ h 8
B． 2 m/ h 8
A．若 m 0 ， n 0 ，则曲线 C 是椭圆
B．若 m n 0 ，则曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆
C．若 m 0 n ，则曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线
D．曲线 C 可以是抛物线
10．已知正数 a ， b 满足 a + 2b = 1 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 2a + 4b 的最小值是 2 2 C． a2 + 4b2 的最小值是 1
14．以椭圆 x2 + y2 = 1的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是________． 85
15．已知数列an 满足 a1
= 1，且
an +1
−
an
=
n
+
1，则数列
1 an
的前
100
项和为________．
16．在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E ， F ，G ， H ， K ， L 分别是 AB ， BB1 ，B1C1 ，C1D1 ，D1D ，
以
x1x2
+
y1 y2
=
0
，由
x y
= my + 2 = 4x
n
得：
y2
−
4my
−
4n
=
0
8分
所以， y1y2 = −4n ； x1x2 = n2 ；所以 n2 − 4n = 0 ，解得 n = 0 ，或 n = 4
10 分
当 n = 0 时，直线 AB 过原点，不满足题意；当 n = 4 时，直线 AB 过点 (4,0)