拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ分别为∠DAC，∠EBC的平分线所在的直线，试探究∠C与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F的度数；【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【分析】过点F作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF ＝21∠BEF ＝x °，∠EFG ＝21∠EFD ＝(x ＋25)°，∵FH ∥EP ，∴∠PEF ＝∠EFH ＝x °，∠P ＝∠HFG ，∵∠HFG ＝∠EFG －∠EFH ＝25°，∴∠P ＝25°．针对练习51．如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°2．如图，AB ∥DE ，∠C ：∠D ：∠B ＝2：3：4，则∠B ＝．3．如图，直线l 3，l 4与l 1，l 2分别相交于点A ，B ，C ，D ，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l 1与l 2平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE ＝30°，∠BEC ＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l 1与l 2平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE ．∴l 1∥l 2．（2）过点E作EF∥AB交BC于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例1】如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 的延长线与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且CH ⊥EC ．（1）求证：PF ∥GH ；（2）如图2，连接PH ，K 是GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图1图2【分析】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用x 表示未知角，运用整体思想求解。

【解答】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°。

∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，∴∠BEP +∠PFD =12（∠BEF +∠EFD ）=90°．易证∠EPF =∠BEP +∠PFD =90°。

∵GH ⊥EG ，∴∠EGH =∠EPF =90°，∴PF ∥GH（2）∠HPQ 的大小不发生变化，理由如下：设∠PHK =∠HPK =x ．∵PF ∥GH ，∴∠FPH =∠PHK =x ．易得∠FPK =2x ，∠EPK =90°+2x ．∵PQ 平分∠EPK ，∴∠QPK =12∠EPK =45°+x 。

∴∠HPQ =∠QPK －∠HPK ＝45°+x -x =45°。

∴∠HPQ 的大小不变，∠HPQ =45°题型二设两个未知数求定角方法技巧题目中未知角与某两个未知的角有关，此时设两个未知数求定角【例2】如图，AB∥CD，∠DBC=2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于点E，连接AE，∠BDC=6∠BAE，求∠AEC的度数【分析】本题有两个未知角，∠BAE和∠BCE，设两个未知数，建立角的联系，整体求解【解答】过点E作EF∥AB,∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．∴∠A＝∠AEF，∠DCE=∠CEF∴∠AEC=∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠DCE∵∠BCD的平分线CE交BD于点E．∴可设∠DCE＝∠BCE＝x，则∠AHC＝2x∴∠DBC＝2∠ABC＝4x设∠BAE＝y，则∠BDC＝6∠BAE＝6y，易得∠ABD＋∠BDC＝180°，∴2x+6y+4x=180°，∴x＋y＝30°，∴∠BAE＋∠DCE=x＋y=30°，∴∠AEC=30°，题型三求角的和、差、倍、分为定值方法技巧设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来【例3】如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，GF∥DE，已知∠ACD＝90°，求2∠AGD＋∠GFE的值【分析】过拐点C，D，G分别作AB的平行线，设∠BAC=2x，∠CDE=2y，其它角用x，y 表示出来。

【解答】过点C，D，G分別作AB的平行线CM，DN，GT设∠BAC=2x，∠CDE=2y，易得∠BAG=∠GAC=x，∠CDG=∠GDE=y，∠BAC＋∠CDN=∠ACD=90°，∴∠CDN＝90°－2x∴∠TGD=∠GDN=90°-2x-y，∠NDE=y-（90°-2x-y）=2x＋2y－90°，易证∠NDF＋∠E=180°=∠GFE＋∠E.∴∠GFE=∠NDE=2x＋2y－90°∴∠AGD=∠AGT+∠TGD=∠BAG+∠GDN=x+90°-2x-y=90°-x-y．∴∠AGD+∠GFE=180°-2x-2y+2x+2y-90°=90°题型四求角的比值为定值设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来【例4】如图，已知AM∥BN，∠DAB＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），∠ABP和∠PBN的平分线分别交射线AM于点C，D．∠DAB的平分线与∠DBN的平分线交于点H，在点P运动的过程中，∠CBN与∠AHB的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出其变化规律【分析】过点H作HG∥AM．设∠DBN＝2x，导角可求出比值【解答】设∠DBN=2x，过点H作HG∥AM，∵AM∥BN，∴AM∥BN∥GH，易证∠PBD＝2x，∠ABN＝120°，∠ABP＝120°－4x，BC平分∠ABP，∴∠ABC＝∠CBP＝60°-2x，∴∠CBN=∠CBP+∠PBN＝60°-2x+4x＝60°+2x，易证∠AHB＝∠DAH＋∠HBN=30°+x，∴∠CBN：∠AHB＝（60°+2x）:(30°+x)=2针对练习1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠MFN的度数．【解答】过点E作EH∥AB，过点F作FQ∥AB．设∠AMF=∠EMF=x，∠ENF=∠FND=y，则∠MEH=180°-2x，∠NEH=180°-2y∠MEN=180°-2x+180°-2y=90°，x+y=135°∴∠MFN=∠AMF+∠FND=x+y=135°2.点A，C为射线l上两点，且AB∥CD（1）如图1，点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）如图2，若点E，F在线段AC上，且∠ABE=3∠ABF，DE平分∠FDC，∠ABE=60°，求2∠BED-∠BFD的度数。