一、中考数学压轴题1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,连接BD ,将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△(B ′与B 重合),且点D '刚好落在BC 的延长上,A D ''与CD 相交于点E .(1)求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE '')的面积; (2)将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得AA B ''△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.2.我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ,分别交x 轴和y 轴于点M ,N .点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标,有序实数对(x ,y )称为点P 的斜坐标,记为P (x ,y )(1)如图2,ω=45°,矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上,BC 与y 轴交于点D , OA =2,OC =1.①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ,B ,C .②设点P (x ,y )在经过O 、B 两点的直线上,则y 与x 之间满足的关系为 .③设点Q (x ,y )在经过A 、D 两点的直线上,则y 与x 之间满足的关系为 . (2)若ω=120°,O 为坐标原点.①如图3,圆M 与y 轴相切原点O ,被x 轴截得的弦长OA =23,求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标.②如图4,圆M 的圆心斜坐标为M (23,23),若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1,则圆M 的半径r 的取值范围是 .3.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=CD=AD=5,cos 45B =,点O 是边BC 上的动点,以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ,联结AM ,作∠CMN=∠BAM ,射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .(1)当点E 为边AB 的中点时,求DF 的长;(2)分别联结AN 、MD ,当AN//MD 时,求MN 的长;(3)将O 绕着点M 旋转180°得到'O ,如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切,求O 的半径长.4.如图,已知正方形ABCD 中,4,BC AC BD =、相交于点O ,过点A 作射线AM AC ⊥,点E 是射线AM 上一动点,连接OE 交AB 于点F ,以OE 为一边,作正方形OEGH ,且点A 在正方形OEGH 的内部,连接DH .(1)求证:EDO EAO ∆≅∆;(2)设BF x =,正方形OEGH 的边长为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)连接AG ,当AEG ∆是等腰三角形时,求BF 的长.5.如图1,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,连接AC 、BC ,已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -.(1)求抛物线的表达式;(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点,如果在x 轴上存在点Q ,使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,求点Q 的坐标;(3)如图2,若点M 是AOC △内一动点,且满足AM AO =,过点M 作MN OA ⊥,垂足为N ,设AMN 的内心为I ,试求CI 的最小值.6.如图,直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣32x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C .(1)求抛物线的解析式;(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当32MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.7.对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2.给出如下定义:在图形W 1上存在两点A ,B (点A ,B 可以重合),在图形W 2上存在两点M ,N ,(点M 于点N 可以重合)使得AM=2BN ,则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(03,点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ,E 重合),连接OP ,CP .①线段OP 的最小值为_______,最大值为_______;线段CP 的取值范直范围是_____; ②在点O ,点C 中,点____________与线段DE 满足限距关系;(2)如图2,⊙O 的半径为1,直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ,G .若线段FG 与⊙O 满足限距关系,求b 的取值范围;(3)⊙O 的半径为r(r>0),点H ,K 是⊙O 上的两个点,分别以H ,K 为圆心,1为半径作圆得到⊙H 和 K ,若对于任意点H ,K ,⊙H 和⊙K 都满足限距关系,直接写出r 的取值范围.8.如图,在平面直角坐标系xoy 中,直线122y x =-+与x 轴交于点B ,与y 轴交于点,C 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线3,2x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点M 为抛物线对称轴上一动点,当BM CM -的值最小时,请你求出点M 的坐标;(3)抛物线上是否存在点N ,过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似?若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.9.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B ,(1)求抛物线的对称轴;(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示);(3)已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围.10.如图,一张半径为3cm 的圆形纸片,点O 为圆心,将该圆形纸片沿直线l 折叠,直线l 交O 于AB 、两点.(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O ,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l (不写作法,保留作图痕迹),并求此时线段AB 的长度.(2)已知M 是O 一点,1cm OM =.①若折叠后的圆弧经过点M ,则线段AB 长度的取值范围是________.②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,则线段AB 的长度为_________cm .11.在平行四边形ABCD 中,60B ∠=︒,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且60ECF ∠=︒.(1)如图1,若AB BC =,求证:AE AF BC +=;(2)如图2,若4AB BC ==,且点E 为AB 的中点,连接BF 交CE 于点M ,求FM ;(3)如图3,若AB kBC =,探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系,说明理由.12.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标;(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、Q ∠的数量关系并说明理由;(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.13.如图,等腰△ABC ,AB =CB ,边AC 落在x 轴上,点B 落在y 轴上,将△ABC 沿y 轴翻折,得到△ADC(1)直接写出四边形ABCD 的形状:______;(2)在x 轴上取一点E ,使OE =OB ,连结BE ,作AF ⊥BC 交BE 于点F .①直接写出AF 与AD 的关系:____(如果后面的问题需要,可以直接使用,不需要再证明);②取BF 的中点G ,连接OG ,判断OG 与AD 的数量关系,并说明理由;(3)若四边形ABCD 的周长为8,直接写出GE 2+GF 2=____.14.在ABC ∆中,若存在一个内角角度,是另外一个内角角度的n 倍(n 为大于1的正整数),则称ABC ∆为n 倍角三角形.例如,在ABC ∆中,80A ∠=︒,75B ∠=︒,25C ∠=︒,可知3∠=∠B C ,所以ABC ∆为3倍角三角形.(1)在ABC ∆中,55A ∠=︒,25B ∠=︒,则ABC ∆为________倍角三角形;(2)若DEF ∆是3倍角三角形,且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13,求DEF ∆的最小内角. (3)若MNP ∆是2倍角三角形,且90M N P ∠<∠<∠<︒,请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围.15.已知:AB 为⊙O 的直径,点C 为弧AB 的中点,点D 为⊙O 上一点,连接CD ,交AB 于点M ,AE 为∠DAM 的平分线,交CD 于点E .(1)如图1,连接BE ,若∠ACD=22°,求∠MBE 的度数;(2) 如图2,连接DO 并延长,交⊙O 于点F ,连接AF ,交CD 于点N .①求证:DM 2+CN 2=CM 2;②如图3,当AD=1,AB=10时,请直接写出....线段ME 的长. 16.如图,平面直角坐标系中,抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,25AB =.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS 交y 轴于点T ,连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒,在射线CS 上取点Q.连接QF ,QF RF =,求直线TQ 的解析式.17.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s .(1)a =______cm ,b =______cm ;(2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分?(3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积等于6cm 2.18.在一次数学课上,李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题(2)如图 1,如果 AB ∥CD ∥EF ,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF =( )A .180°B .270°C .360°D .540°(1)请写出这道题的正确选项;(2)在同学们都正确解答这道题后,李老师对这道题进行了改编:如图2,AB ∥EF ,请直接写出∠BAD ,∠ADE ,∠DEF 之间的数量关系.(3)善于思考的龙洋同学想:将图1平移至与图2重合(如图3所示),当AD ,ED 分别平分∠BAC ,∠CEF 时,∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.(4)彭敏同学又提出来了,如果像图4这样,AB ∥EF ,当∠ACD=90°时,∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.19.如图,直角梯形ABCD 中,1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠====的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动,2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动,1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ,若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发,运动的时间为ts(1)请求出2O 与腰CD 相切时t 的值;(2)在03s t s ≤<范围内,当t 为何值时,1O 与2O 外切?20.如图1,以AB 为直径作⊙O ,点C 是直径AB 上方半圆上的一点,连结AC ,BC ,过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E .(1)如图1,连结AD ,求证:∠ADC =∠DEC .(2)若⊙O 的半径为5,求CA •CE 的最大值.(3)如图2,连结AE ,设tan ∠ABC =x ,tan ∠AEC =y ,①求y 关于x 的函数解析式; ②若CB BE =45,求y 的值. 21.如图,二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ,另一个交点为A ,且与y 轴相交于C 点(1)则m =_________;C 点坐标为___________;(2)在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ,使得它与B ,C 两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M 点坐标;若不存在,请简要说明理由.(3)P 为抛物线上一点,它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时,求点P 的坐标;②点P 的横坐标为(04)t t <<,当t =________时,四边形PBQC 的面积最大.22.问题探究(1)如图1.在ABC 中,8BC =,D 为BC 上一点,6AD =.则ABC 面积的最大值是_______.(2)如图2,在ABC 中,60BAC ∠=︒,AG 为BC 边上的高,O 为ABC 的外接圆,若3AG =,试判断BC 是否存在最小值?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明理由.问题解决:如图3,王老先生有一块矩形地ABCD ,6212AB =+,626BC =+,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ,且满足点E 在CD 上,AD DE =,点F 在BC 上,且6CF =,点M 在AE 上,点N 在AB 上,90MFN ∠=︒,这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.23.在菱形ABCD 中,点P 是对角线BD 上一点,点M 在CB 的延长线上,且PC PM =, 连接PA .()1如图①,求证:PA PM =;()2如图②,连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ;()3连接AM ,当 90ADC ︒∠=时,PC 与AM 的数量关系是24.如图①,在ABC ∆中,90C ∠=︒,10,8AB BC ==.点,D E 分别是边,AC BC 上的动点,连接DE .设CD x =(0x >),BE y =,y 与x 之间的函数关系如图②所示.(1)求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式; (2)将DCE 沿DE 翻折,得DME .①点M 是否可以落在ABC ∆的某条角平分线上?如果可以,求出相应x 的值;如果不可以,说明理由;②直接写出....DME 与ABC ∆重叠部分面积的最大值及相应x 的值.25.如图,直线y =﹣x+4与抛物线y =﹣12x 2+bx+c 交于A ,B 两点,点A 在y 轴上,点B 在x 轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在x 轴下方的抛物线上存在一点P ,使得∠ABP =90°,求出点P 坐标;(3)点E 是抛物线对称轴上一点,点F 是抛物线上一点,是否存在点E 和点F 使得以点E ,F ,B ,O 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题 1.B解析:(1)2452cm ;(2)22331624(0)22588020016(4)3335x x x y x x x ⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩;(3)存在,使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32秒、695. 【解析】 【分析】(1)先用勾股定理求出BD 的长,再根据旋转的性质得出10B D BD cm ''==,2CD B D BC cm '=''-=,利用B D A ∠'''的正切值求出CE 的值,利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积;(2)分类讨论,当1605x ≤<时和当1645x ≤≤时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB A B '=''时;当AA A B '=''时;当AB AA '='时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】 解:(1)6AB cm =,8AD cm =,10BD cm ∴=,根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==,2CD B D BC cm '=''-=,tan A B CEB D A A D CD '''''∠==''', 682CE∴=, 32CE cm ∴=,()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==-⨯÷=-; (2)①当1605x ≤<时,22CD x '=+,32CE x =, 233+22CD E S x x '∴=△, 22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+; ②当1645x ≤≤时,102BC x =-,()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+. (3)①如图1,当AB A B '=''时,0x =秒;②如图2,当AA A B '=''时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+,245A M NB '==, 2236AN A N +'=,222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得:669x -=秒,(669x --=舍去); ③如图2,当AB AA '='时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+,245A M NB '==, 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得:32x =秒. 综上所述:使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32秒、669-.【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.2.B解析:(1)①(2,0),(1,2),(﹣1,2);②y=2x;③y=﹣22x+2;(2)①半径为2,M(4323,33);②2<r<4【解析】【分析】(1)①如图2−1中,作BE∥OD交OA于E,CF∥OD交x轴于F.求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题;②如图2−2中,作BE∥OD交OA于E,作PM∥OD交OA于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;③如图3−3中,作QM∥OA交OD于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;(2)①如图3中,作MF⊥OA于F,作MN∥y轴交OA于N.解直角三角形即可解决问题;②如图4中,连接OM,作MK∥x轴交y轴于K,作MN⊥OK于N交⊙M于E、F.求出FN=NE=1时,⊙M的半径即可解决问题;【详解】解:(1)①如图2﹣1中,作BE∥OD交OA于E,CF∥OD交x轴于F.由题意OC=CD=1,OA=BC=2,∴BD=OE=1,OD=CF=BE=2,∴A(2,0),B(1,2),C(﹣1,2),故答案为:A(2,0),B(1,2),C(﹣1,2).②如图2﹣2中,作BE∥OD交OA于E,作PM∥OD交OA于M.∵OD∥BE,OD∥PM,∴BE∥PM,∴BE OEPM OM=,∴21y x=,∴y=2x.故答案为:y=2x.③如图2﹣3中,作QM∥OA交OD于M.222MQ DMOA DOx y∴=-∴=∴22y x=-+故答案为:y=﹣22x+2.(2)①如图3中,作MF⊥OA于F,作MN∥y轴交OA于N.∵ω=120°,OM⊥y轴,∴∠MOA=30°,∵MF⊥OA,OA=3∴OF=FA3∴FM=1,OM=2FM=2,∴圆M的半径为2∵MN∥y轴,∴MN⊥OM,∴MN =233,ON =2MN =433,∴M 4323,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.②如图4中,连接OM ,作MK ∥x 轴交y 轴于K ,作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F .∵MK ∥x 轴,ω=120°, ∴∠MKO =60°, ∵MK =OK =3 ∴△MKO 是等边三角形, ∴MN =3,当FN =1时,MF =3﹣1=2, 当EN =1时,ME =3+1=4,观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2<r <4. 故答案为:2<r <4. 【点睛】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考压轴题.3.D解析:(1)DF 的长为158;(2)MN 的长为5;(3)O 的半径长为258. 【解析】 【分析】(1)作EH BM ⊥于H ,根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形,从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径,再根据平行四边形的性质求FD 即可; (2)先证AMB CNM ∠=∠,再证MAD CNM ∠=∠,从而证明AFM NFD ∆~∆,得到AF MFAF DF NF MF NF DF=⇒=,再通过平行证明AFN DFM ∆~∆,从而得到AF NFAF MF NF DF DF MF=⇒=,通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =, 从而得出答案.(3)通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒,再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案. 【详解】(1)如图,作EH BM ⊥于H :∵E 为AB 中点,45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH =∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ,在Rt OEH ∆中:()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得:2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠ ∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r === ∴2515588FD AD AF =-=-= (2)如图:连接MD AN ,∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠ 又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ∆~∆∴AF MFAF DF NF MF NF DF =⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆∴AF NFAF MF NF DF DF MF =⇒=② 由①⨯②得;22AF NF AF NF =⇒= ∴NF DF = ∴5MN AD == 故MN 的长为5; (3)作如图:∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切 设圆N 半径为R ,圆O 半径为r ∴'=NO R r NO -= ∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO ∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒ ∴A 点在圆上 ∴54cos 5AB B BM BM === 解得:254BM =O 的半径长为258【点睛】本题是一道圆的综合题目,难度较大,掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键.4.A解析:(1)详见解析;(2)y =(04x <<);(3)当AEG ∆是等腰三角形时,2BF =或43【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质得到∠AOD=90°,AO=OD ,∠EOH=90°,OE=OH ,由全等三角形的性质即可得到结论;(2)如图1,过O 作ON ⊥AB 于N ,根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====,根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论;(3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图2,过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时,△AEG 是等腰三角形,如图3,过G 作GQ ⊥AE 于Q ,根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论. 【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,,OA OD AC BD ∴=⊥,90AOD ∴∠=︒,∵四边形OEGH 是正方形,,90OE OH EOH ∴=∠=︒,AOD EOH ∴∠=∠,AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠, 即HOD EOA ∠=∠, HDO EAO ∴∆≅∆.(2)如图1,过O 作ON⊥AB 于N ,则122AN BN ON AB ====, ∵BF=x, ∴AF=4-x , ∴FN=2-x , ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+,∴248EF y x x =--+, ∵AM⊥AC, ∴AE∥OB, ∴BF OF AF EF=, ∴2248448x x x x y x x -+=---+, ∴()244804x x y x x-+≤=<;(3)①当AE=EG 时,△AEG 是等腰三角形,则AE=OE , ∵∠EAO=90°, ∴这种情况不存在;②当AE=AG 时,△AEG 是等腰三角形, 如图2,过A 作AP⊥EG 于P ,则AP∥OE,∴∠PAE=∠AEO, ∴△APE∽△EAO,∴PE AE OA OE=,∵AE=AG,∴241482x xPE y-+==,()22248xAE yx-=-=,∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+,解得:x=2,②当GE=AG时,△AEG是等腰三角形,如图3,过G作GQ⊥AE于Q,∴∠GQE=∠EAO=90°,∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°,∴∠EGQ=∠AEO,∵GE=OE,∴△EGQ≌△OEA(AAS),∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===,∴43x=,∴BF=2或43.【点睛】本题考查了四边形的综合题,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.5.C解析:(1)26y x x=--;(2)Q的坐标为()2,0或()4,0;(3)CI的最小值为42【解析】 【分析】(1)待定系数法求解析式;(2)根据//CP BQ 即点C 坐标,可以求出P 点坐标,算出CP 长,即可写出Q 点坐标; (3)利用AIM AIO ≌△△可判断出I 的运动轨迹是圆弧,设I 运动轨迹所在的圆心为G 计算出圆心G 的坐标及半径为,当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短. 【详解】(1)由题意得:A 点坐标为()2,0-,C 点坐标为()0,6-带入2y x bx c =++中得:4206b c c -+=⎧⎨=-⎩,解得:16b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为26y x x =--.(2)∵点Q 在x 轴上,又点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ∴//CP BQ ,由对称性可知,P 点的坐标为()1,6- ∴1PC =,∴1BQ =. ∴Q 的坐标为()2,0或()4,0. (3)连接AI ,MI ,OI∵I 为AMN 的内心 ∴AI 、MI 分别平分MAN ∠,AMN ∠∴MAI OAI ∠=∠又∵MN AN ⊥,∴90ANM ∠=︒ ∴135AIM ︒∠=. 又∵MA OA =,AI AI = ∴AIM AIO ≌△△∴135AIO AIM ∠=∠=︒ ∴I 的运动轨迹是圆弧. 设I 运动轨迹所在的圆心为G ∵135AIO ∠=︒,∴90AGO ∠=︒ 又∵AG OG =,2AO =∴圆心G 的坐标为()1,1-当G 、I 、C 三点共线时候CI 最短 ∵CG === GI =∴CI的最小值为=综上所述:CI 的最小值为 【点睛】此题为二次函数的综合应用,第一问利用待定系数法求解属基本题型;第二问判断出//CP BQ 是解题关键;第三问判断出I 的运动轨迹是解题关键.6.B解析:(1)y =12x 2﹣32x ﹣2;(2)点M 的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P 的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2). 【解析】 【分析】(1)根据题意直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,则点A 、B 的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解; (2)由题意直线MA 的表达式为:y =(12m ﹣32)x ﹣2,则点N (43m -,0),当MN AN =32时,则NH ON =32,即4343m m m ---=32,进行分析即可求解; (3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB 、∠PAB=∠OBA 三种情况,分别求解即可. 【详解】 解:(1)直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,则点A 、B 的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c =﹣2,将点B 的坐标代入抛物线表达式并解得:a =12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO=OB=4,OA=OA=2,设OH=x,则sin∠H=BO OAHB HA'=,即:2444x x=++,解得:x=83,则点H(﹣83,0),.则直线AH的表达式为:y=﹣34x﹣2③,联立①③并解得:x=32,故点P(32,﹣258);③当∠PAB=∠OBA时,当点P在AB上方时,则AH=BH,设OH=a,则AH=BH=4﹣a,AO=2,故(4﹣a)2=a2+4,解得:a=32,故点H(32,0),则直线AH的表达式为:y=43x﹣2④,联立①④并解得:x=0或173(舍去0),故点P(173,509);当点P在AB下方时,同理可得:点P(3,﹣2);综上,点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.7.C解析:(13332CP≤≤,②O;(2)13b≥;(3)0<r≤3.【解析】【分析】(1)①根据垂线段最短以及已知条件,确定OP ,CP 的最大值,最小值即可解决问题.②根据限距关系的定义判断即可. (2)直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ,G (0,b ),分三种情形:①线段FG在⊙O 内部,②线段FG 与⊙O 有交点,③线段FG 与⊙O 没有交点,分别构建不等式求解即可.(3)如图3中,不妨设⊙K ,⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧,根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系,构建不等式求解即可. 【详解】(1)①如图1中,∵D (-1,0),E(03, ∴OD=1,3OE = ∴3OEtan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°,当OP ⊥DE 时,3•60OP OD sin =︒=,此时OP 的值最小, 当点P 与E 重合时,OP 3 当CP ⊥DE 时,CP 的值最小,最小值•603CD cos =︒= 当点P 与D 或E 重合时,PC 的值最大,最大值为2, 3332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知,线段DE 上存在两点M ,N ,满足OM=2ON , 故点O 与线段DE 满足限距关系. 故答案为O . (2)直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ,G (0,b ),当0<b <1时,线段FG 在⊙O 内部,与⊙O 无公共点, 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ,最大距离为1+b , ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系, ∴1+b ≥2(1-b ),解得13b ≥, ∴b 的取值范围为131b ≤<. 当1≤b ≤2时,线段FG 与⊙O 有公共点,线段FG 与⊙O 满足限距关系, 当b >2时,线段FG 在⊙O 的外部,与⊙O 没有公共点, 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -,最大距离为b+1, ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系,∴11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭,而11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立, ∴b >2时,线段FG 与⊙O 满足限距关系,综上所述,b 的取值范围为13b ≥. (3)如图3中,不妨设⊙K ,⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧,两圆的距离的最小值为2r-2,最大值为2r+2, ∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系, ∴2r+2≥2(2r-2), 解得r ≤3,故r 的取值范围为0<r ≤3. 【点睛】本题属于圆综合题,考查了解直角三角形,垂线段最短,直线与圆的位置关系,限距关系的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建不等式解决问题,属于中考创新题型.8.B解析:(1)213222y x x =-++;(2)3(,0)2;(3)存在;(0,2)N 或(3,2)N 或(2,3)--N 或(5,18)--N【解析】【分析】(1)由直线122y x =-+可得B 、C 两点的坐标,根据二次函数的对称轴求得A 点坐标,可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-,将C 点坐标代入可求得a ,即可得抛物线的解析式;(2)根据绝对值的性质得出BM CM -的值最小时,点M 为BC 的垂直平分线与直线32x =的交点,求得BC 垂直平分线的解析式,联立直线32x =即可求得点M ; (3)分四种情况进行讨论,设出N 的坐标,根据相似三角形的对应边成比例的性质,求得N 的横坐标与纵坐标的关系,然后联立抛物线解析式即可求解. 【详解】 解:∵直线122y x =-+与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C , ∴当y =0时,即1022x =-+,解得:x =4,则点B 的坐标为(4,0), 当x =0时,10222=-⨯+=y ,则点C 的坐标为(0,2), 由二次函数的对称性可知:点A 与点B 关于直线32x =对称, ∴点A 的坐标为(1,0)-,∵抛物线与x 轴的交点为点(1,0),(4,0)A B -, ∴可设抛物线的解析式为(1)(4)y a x x =+-, 又∵抛物线过点(0,2)C , ∴2(01)(04)a =+-,解得:12a =-, ∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++;(2)如图1,连结CM 、BM ,作线段BC 的垂直平分线l 分别交BC 、直线32x =于点'、N M ,则N 为BC 中点;由绝对值的性质可得:0≥-BM CM ,∴当BM CM -的值最小时,即0=-BM CM ,则此时CM BM =, ∴点M 为l 与直线32x =的交点,此时M 与'M 重合, 设l 的解析式为:y kx b =+, ∵直线BC 的解析式为:122y x =-+,BC l ⊥ ∴112-⋅=-k ,解得:2k =,则l 的解析式可化为:2y x b =+, 由(4,0),(0,2)B C 得点N 的坐标为(2,1),将(2,1)N 代入2y x b =+得: 14b =+,解得:3b =-,∴23y x =-, 将32x =代入23y x =-,得323=02=⨯-y ,即3'(,0)2M , ∴当BM CM -的值最小时,点M 的坐标为3(,0)2,(3)抛物线上存在点N ,使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似; ∵(1,0),(4,0),(0,2)-A B C∴1,4==OA OB ,2OC =,5AB =,∴2222125=+=+=AC OA OC 22224225BC OB OC =+=+=, ∵22252025+=+==AC BC AB , ∴ABC 为直角三角形,90ACB ∠=︒, ∵NH x ⊥轴,∴90∠=︒NHB ,则90∠=∠=︒NHB ACB ,如图2所示,分四种情况,点N 的坐标分别为1234、、、N N N N ,设点N 的坐标为(,)m n ,①当点1N 在x 轴的上方,要使11N BH ABC ,则11∠=∠N BH ABC ,则此时点1N 与点C 重合,则此时点1H 与点O 重合, 则11≅N BH ABC ,满足题意, ∴此时点1N 的坐标为(0,2); ②当点2N 在x 轴的上方,要使22BN H ABC ,则2222==N H BCBH AC, ∴24=-nm,即28n m =-+,代入抛物线的解析式得: 21328222mm m ,化简得:27120m m ,解得:13m =,24m =(不符合题意,故舍去), 将3m =代入抛物线解析式得:2n =, ∴此时点2N 的坐标为(3,2); ③当点3N 在x 轴的下方,要使33N BH ABC ,则3332==BH BCN H AC, ∴42-=-m n ,即42-=m n ,代入抛物线的解析式得: 24132222m m m ,化简得:2280m m --=,解得:12m =-,24m =(不符合题意,故舍去), 将2m =-代入抛物线解析式得:3n =-,∴此时点3N 的坐标为(2,3)--;④当点4N 在x 轴的下方,要使44BN H ABC ,则4442==N H BC BH AC , ∴24-=-n m,即28=-n m ,代入抛物线的解析式得: 21328222m m m ,化简得:2200m m , 解得:15m =-,24m =(不符合题意,故舍去),将5m =-代入抛物线解析式得:18n =-,∴此时点4N 的坐标为(5,18)--;综上所述,抛物线存在点N 的坐标为(0,2)或(3,2)或(2,3)--或(5,18)--使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似.【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质,运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键.9.B解析:(1)直线x=0;(2)B (0,1a );(3)≤a ≤13-或13≤a 【解析】【分析】(1)根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可;(2)根据题意得出点A 的坐标,再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标; (3)分a >0和a <0两种情况分别讨论,画图图像,求出a 的范围.【详解】解:(1)在抛物线21y ax a=-中, 002a-=, ∴对称轴为直线x=0,即y 轴;(2)∵抛物线与y 轴交于点A ,∴A (0,1a-), ∵点A 关于x 轴的对称点为点B , ∴B (0,1a); (3)当a >0时,点A (0,1a-)在y 轴负半轴上,当点P恰好在抛物线上时,代入得:11aa a -=,解得:2a=或2-(舍),当点Q恰好在抛物线上时,代入得:190 aa-=,解得:13a=或13-(舍),∴当13≤a≤2时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点;当a<0时,点A(0,1a-)在y轴正半轴上,同理可知:当点P恰好在抛物线上时,代入得:11aa a -=,解得:2a=(舍)或2-,当点Q恰好在抛物线上时,代入得:190 aa-=,解得:13a=(舍)或13-,∴当2-≤a≤13-时,抛物线与线段PQ只有一个公共点;综上:若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,a的取值范围是2-≤a≤13 -或13≤a ≤2. 【点睛】本题是一道二次函数的综合题目,主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,画出相应的函数图象,利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答.10.A解析:(1)图见解析,33cm ;(2)①25cm 42cm AB ≤≤;②26 【解析】【分析】(1)连接AO ,直线l 垂直平分PO .13cm 22OH PO ==,在Rt △AHO 中即可求解; (2)①分两种情况求解;②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ,与弧AB 交于点C ,与AB 交于点E ,过M 作OM 的垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,得到OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心,10cm OO '=,在Rt △ADO 中即可求解;【详解】(1)如图,直线l 为所求,连接AO .∵点P 与点O 关于直线l 对称,∴直线l 垂直平分PO .∴13cm 22OH PO ==. 在Rt AHO ∆中,∵222AH HO AO +=,∴2233AH AO HO =-=. 在O 中,∵PO AB ⊥,PO 为半径,∴233cm AB AH ==.(2)如图1:∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1,∴DM=1,在Rt△ADO 中,AO=3,DO=2, ∴5AD =; 如图2:∵弧AB 翻折与M 重合,OM=1,∴MD=2,DO=1,在Rt△ADO 中,AO=3, ∴22AD =,∴2542AB ≤≤,故答案为2542AB ≤≤;(3)如图3:过O 作弦AB 的垂线与圆O 交于点C ,与AB 交于点D ,连接OM ,过点M 作OM 的垂线,两条垂线的交点为O',连接AO ,∴OO'垂直平分AB ,O'为弧ABM 所在圆的圆心,∵折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,∴MO'=3,CO=EO',在Rt△OO'M 中,OM=1,∴'10OO =,在Rt△ADO 中,2DO =,AO=3,∴AD =,∴AB =【点睛】本题考查圆的翻折,垂径定理,圆的切线,解直角三角形;熟练用垂径定理,在直角三角形中求边,分类讨论折叠的情况是解题的关键.11.A解析:(1)证明见解析;(2)FM =;(3)kBC DF kBE =+. 【解析】【分析】(1)连接AC ,根据题意判定平行四边形ABCD 为菱形,△ABC 为等边三角形,然后利用AAS 定理判定△BCE ≌△ACF ,从而得出BE=AF ,使问题得解;(2)连接AC ,过点M 作MN ⊥CF ,由含30°直角三角形的性质求得122BE BC ==,CE CF ===CN=x ,则MN =,然后利用平行判定△FMN ∽△FBC ,根据相似三角形的性质求得1255MN FN ==,,然后利用勾股定理求解即可;(3)连接AC ,过点A 作AK ⊥BC ,在DA 上截取DH=CD ,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△HCD 是等边三角形,然后根据AA 定理判定△BCE ∽△FCH ,根据相似三角形的性质求得HF CM CD AB k BE BC BC BC====,即HF=kBE ,从而使问题得解. 【详解】解:(1)连接AC因为在平行四边形ABCD 中,60B ∠=︒,AB BC =∴平行四边形ABCD 为菱形,△ABC 为等边三角形∴AC=BC ,∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°,又∵60ECF ∠=︒∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF∴∠BCE=∠ACF∴△BCE ≌△ACF∴BE=AF∴AB=AE+BE=AE AF BC +=。