一、中考数学压轴题1．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．3．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点．（1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ；（2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）求点A ，C 的坐标；（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．5．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____；②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．9．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．10．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．11．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．（1）求证：2CAO CDB ∠=∠（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．13．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728CG AG =，求点P 的坐标．14．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．15．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．16．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．17．如图，已知ABF 为等腰直角三角形，90BAF ∠=︒，D 、C 为直线AF 上两点，且满足DF AC =，连接BD 、BC ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交BF 于点H ，连接CH ．（1）若30BAE ∠=︒，1BE =，求DE 的长；（2）若点M 是线段BF 上的动点，连AM 并延长交BD 于N ，当M 在线段BF 的什么位置上时，AH BN =？请说明理由；（3）在（2）的结论下，判断线段CH 、AH 、BD 的数量关系．请说明理由．18．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，B '，C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．19．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝3AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．20．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 在△ABC 外，连接AD 、BD ，且∠ADB=90°，AB 、CD 相交于点E ，AB 、CD 的中点分别是点F 、G ，连接FG ．（1）求AB 的长；（2）求证：AD+BD=2CD ；（3）若BD=6，求FG 的值．21．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．22．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）则m =_________；C 点坐标为___________；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．23．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．24．综合与探究：如图1，抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．①当3DM MF =时，求m 的值；②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 3==EQ EF ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）菱形；（2）①AF =ADAF ⊥AD ；②AD =，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得AB=AD=BC=CD ，可得四边形ABCD 是菱形；（2）①由菱形的性质可得AD ∥BC ，且AF ⊥BC ，可得AD ⊥AF ，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE=∠OEB=45°，∠ABE=∠AFB ，可得AF=AB ；②取AB 中点M ，由三角形中位线定理可得MO ∥AD ，AD=2MO ，AF ∥MG ，AF=2MG ，且AF=AD ，AD ⊥AF ，可得MO=MG ，MG ⊥MO ，可得OM ，即可得OG 与AD 的数量关系；（3）连接AG ，由等腰三角形的性质可得AG ⊥BF ，且∠BEO=45°，可得AG=GE ，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ABC 沿y 轴翻折∴AB=AD ，BC=CD又∵AB=CB∴AB=AD=BC=CD∴四边形ABCD 是菱形故答案为：菱形；（2）①∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC ，且AF ⊥BC∴AD ⊥AF ，∴∠FAC+∠CAD=90°，且∠CAD+∠ADO=90°，∴∠FAC=∠ADO ，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=∠FAC∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB=45°∴∠ABD+∠OBE=∠FAC+∠OEB∴∠ABE=∠AFB∴AF=AB∴AF=AD，故答案为：AF=AD，AD⊥AF；②AD=2OG；如图，取AB中点M，∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，∴MO∥AD，AD=2MO，AF∥MG，AF=2MG，且AF=AD，AD⊥AF ∴MO=MG，MG⊥MO∴GO=2OM∵AD=2MO=2GO；（3）∵四边形ABCD的周长为8，∴AB=BC=CD=AD=2=AF如图，连接AG，∵AB=AF，点G是BF的中点，∴AG⊥BF，且∠BEO=45°∴∠GAE=∠BEO=45°∵AG 2+GF 2=AF 2=4，∴GE 2+GF 2=4，故答案为：4；【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．2．A解析：（I ）30DAM ∠=︒，()3,3M ；（II ）245；（III ）DF 的最大值为47-． 【解析】【分析】（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的45，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得BH CF AH BC＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可．【详解】（I ）如图()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，3AD ∴=，4AB =，由折叠得：ANM ADM ≌△△，MAN DAM ∴∠=∠，AN 平分MAB ∠，MAN NAB ∴∠=∠，BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠，四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，30DAM ∴∠=︒， 3tan 3tan 30333DM AD DAM ∴=⋅∠=⨯︒=⨯=， 30DAM ∴∠=︒，()3,3M ； （II ）延长MN 交AB 的延长线于点Q ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，DMA MAQ ∴∠=∠，由折叠得：ANM ADM ≌△△， DMA AMQ ∴∠=∠，3AN AD ==，1MN MD ==，MAQ AMQ ∴∠=∠，MQ AQ ∴=，设NQ x =，则1AQ MQ x ==+，90ANM ∠=︒，90ANQ ∴∠=︒，在Rt ANQ △中，由勾股定理得：222AQ AN NQ =+， ()22213x x ∴+=+，解得：4x =， 4NQ ∴=，5AQ =，4AB =，5AQ =，441412434552525NAB NAQ S S AN NQ ∴==⨯⋅=⨯⨯⨯=△△； （III ）如图3，过A 作AH BF ⊥于H ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，90AHB BCF ∴∠=∠=︒，ABH BFC ∴∽△△， BHCF AH BC∴=， Rt AHN 中，3AH AN =≤，4AB =， ∴当点N 、H 重合（即AH AN =）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，由折叠得：AD AH =，AD BC =， AH BC ∴=，在ABH 和BFC △中，HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABH BFC AAS ∴≌（）△△， CF BH ∴=，由勾股定理得：2222437BH AB AH =-=-=7CF ∴=，DF ∴的最大值为47DC CF -=【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标特点，第II 问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．3．D解析：（1）证明见解析；（2）29或5；（3）DG =2MG ，理由见解析．【解析】【分析】(1)连接MG 并延长交AB 于N 点，证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ，AN=CG ，进而得到BN=BG ，得到△ANG 为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.(2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.(3)先画出图形，然后证明△ADG ≌△ABG ，得到DG=BG ，又△BMG 为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=2MG.【详解】解：(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点，如下图所示：∵GF ∥AN ，∴∠NAM=∠GFM在△ANM 和△FGM 中∠∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BAM GFM AM FMNMA GMF ，∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ，CG=GF=AN∴AB-AN=BC-CG∴NB=GB∴△NBG 为等腰直角三角形又M 是NG 的中点∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：故有：MG=MB.(2)分类讨论：情况一：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时延长MG 到N 点，并使得MG=MN ，连接AN ，BN∴∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩MN MG AMN GMF AM FM ，∴△AMN ≌△FMG(SAS)∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM∴AN ∥GF∴∠NAB+∠ABG=180°又∠ABC=90°∴∠NAB+∠CBG=90°又在△BCG 中，∠BCG+∠CBG=90°∴∠NAB=∠BCG∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG∴∠ABC=∠NBG=90°∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45°在Rt △BCG 中，2222=534--=BG BC CG过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形∴MH=BH=HG=12BG=2 在Rt △MFH 中，2222MF=2529+=+=MH HF 情况二：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 内同一直线上时如下图所示，延长MG 到MN ，并使得MG=MN ，连接NA 、NB ，同情况一中证明思路，∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩MN MG AMN GMF AM FM ，△AMN ≌△FMG(SAS)∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM∴AN ∥GF∴∠NAB=∠ABG又∠ABG+∠GBC=90°∠GBC+∠BIF=90°∴∠BIF=∠ABG又∠BIF=∠BCG ，∠ABC=∠NAB∴∠NAB=∠GCB∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG∴∠ABC=∠NBG=90°∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45°在△BCG 中，2222=534-=-=BG BC CG过M 点作MH ⊥BG 于H 点，∴△MHB 为等腰直角三角形∴MH=BH=HG=12BG=2 ∴HF=HG-GF=2-1=1在Rt △MFH 中，2222MF=215+=+=MH HF 29 5.(3)由题意作出图形如下所示：DG 、MG 的数量关系为：2，理由如下：∵G 点在AC 上∴∠DAG=∠BAG=45°在△ADG 和△ABG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩AD AB DAG BAG AG AG ，∴△ADG ≌△BAG(SAS)∴DG=BG又由(2)中的证明过程可知：△MBG 为等腰直角三角形∴2MG∴2MG故答案为：2MG.【点睛】本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键.4．A解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--． 【解析】【分析】（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=12•BC•OP 求解即可．（3）分两种情形分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）由725m n m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：43m n =⎧⎨=⎩， ∴A （0，4），C （3，0）；（2）如图1中，当0＜t ＜4时，S=12•BC•OP=12×5×（4-t ）=-52t+10． 如图2中，当t ＞4时，S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52t-10． 综上所述，S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩， （3）当04t <<时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得3617t =， 此时，363241717OP =-=， 32(0,)17P ∴，(4,0)B -，BQ ∴的中点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当4t >时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得36t =，此时36432OP =-=，(0,32)P ∴-，(4,0)B -，BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．综上所述，满足条件的t 的值为3617或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t 的值为477-或727-．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan 3A =，可得出PN 与AP 的关系，从而求出t 的值； （2）如下图，存在2种情况，一种是点M 在△ABC 内，另一种是点M 在△ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM 所在的直线将△ABC 的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC 的面积平分．【详解】（1）如图1，点N 在AC 上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBE S =∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE 是等腰直角三角形∵1282PBE S PE PB ==∴PE=PB=214 ∴PB=47∵PB=AB －PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN 所在线段平分△ABC 的面积，QF 交AC 于点F ，过点F 作AB 的垂线，交AB 于点H图6同理，28AFQ S = ∵四边形PQMN 是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ 是等腰直角三角形 ∵4tan 3A = ∴设FH=4y ，则AH=3y ，HQ=FH=4y ，∴AQ=7y ∴174282AFQ S y y ==，解得：2∵AQ=AB －QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t 的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．6．E解析：（1）y ＝﹣21122x -x+3；（2）①EF 的长为52；②点H 的坐标为（﹣45，135）或（﹣445,99）． 【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①得出EAB ODB ∠=∠，当时，当时，可求出的长；②（Ⅰ）求出直线CE 的解析式为132y x =+，得出APE EBA ∠=∠，则GCH APE EBA CHN MGH ∠=∠=∠=∠=∠，得出//GC PB ，由1tan tan tan 2AE EBA CHN MGH BE ∠=∠=∠==，设CN MG m ==，则2HN m =，12MH m =，则1212MH HN m m +=+=，解得，25m =，可求出H 点的坐标； （Ⅱ）过点H 作MN PB ⊥，过点C 作CN MH ⊥于点N ，过点G 作GM HM ⊥于点M ，证得GCH EBA HCN MHG ∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=，则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==，设MG a =，则2MH a =，证明HMG CNH ∆∆∽，则2NH a =，4CN a =，又(0,3)C ，得出(3,34)G a a --，代入211322y x x =--+中，得449CN =，可求出H 点坐标． 【详解】解：（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax2+bx+c 得，0930423a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， 解得：12123a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣21122x -x+3； （2）①将E （m ，2）代入y ＝﹣21122x -x+3中， 得﹣21122m -m+3＝0，解得m ＝﹣2或1（舍去）， ∴E （﹣2，2），∵A （﹣3，0）、B （2，0），∴AB ＝5，AEBE ＝∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB ＝∠DOB ＝90°，∴∠EAB+∠EBA ＝∠ODB+∠EBA ＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝25，（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为25或2；②点H的坐标为4(5-，13)5或44(9-，5)9，（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠CHN+∠GHM ＝∠MGH+∠GHM ＝90°，∴∠CHN ＝∠MGH ，∵HN ⊥CO ，∠COP ＝90°，∴HN ∥AB ，∴∠CHN ＝∠APE ＝∠MGH ，∵E （﹣2，2），C （0，3），∴直线CE 的解析式为y ＝12x+3， ∴P （﹣6，0），∴EP ＝EB ＝∴∠APE ＝∠EBA ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠APE ＝∠EBA ＝∠CHN ＝∠MGH ，∴GC ∥PB ，又C （0，3），∴G 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣21122x -x+3中，得：x ＝﹣1或0（舍去）， ∴MN ＝1，∵∠AEB ＝90°，AE BE ＝∴tan ∠EBA ＝tan ∠CHN ＝tan ∠MGH ＝12AE BE =， 设CN ＝MG ＝m ，则HN ＝2m ，MH ＝12m ， ∴MH+HN ＝2m+12m ＝1， 解得，m ＝25， ∴H 点的橫坐标为﹣45，代入y ＝12x+3，得：y ＝135， ∴点H 的坐标为（﹣45，135）． （Ⅱ）过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，∴CN ∥PB ，∴∠NCH ＝∠APE ，由（Ⅰ）知：∠APE ＝∠EBA ，则∠NCH ＝∠EBA ，∵∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠HCN+∠NHC ＝∠MHG+∠NHC ＝90°，∴∠HCN ＝∠MHG ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠EBA ＝∠HCN ＝∠MHG ，由（Ⅰ）知：APE EBA ∠=∠，则NCH EBA ∠=∠，90GMN CNH ∠=∠=︒，又90GHC ∠=︒，90HCN NHC MHG NHC ∴∠+∠=∠+∠=︒，HCN MHG ∴∠=∠，GCH EBA ∠=∠，GCH EBA HCN MHG ∴∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=， 则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==， 设MG a =，则2MH a =，NCH MHG ∠=∠，N M ∠=∠，HMG CNH ∴∆∆∽， ∴12MH MG HG CN NH CH ===， 2NH a ∴=，4CN a =，又(0,3)C ，(3,34)G a a ∴--，代入211322y x x =--+中，得，119a =或0（舍去），449CN ∴=， H ∴点的橫坐标为449-，代入132y x =+，得，59y =． ∴点H 的坐标为445(,)99-． 综合以上可得点H 的坐标为4(5-，13)5或445(,)99-． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．7．C解析：（1）①3，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE =∴3OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•602OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP 的值最大，最大值为3， 当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=， 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2， 故答案为：3，3，32CP ≤≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ． （2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴1+b ≥2（1-b ）， 解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系， 当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点， 此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2， ∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系， ∴2r+2≥2（2r-2）， 解得r ≤3，故r 的取值范围为0＜r ≤3． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．C解析：（1）C ；（2）﹣1﹣2≤x k ≤1﹣2或2﹣1≤x k ≤1+2；（3）m≤3﹣210或m≥3+210． 【解析】 【分析】（1）由题意可知当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）根据题意由两点的距离公式可得AP=BP=22，分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：K 1、K 2、K 3、K 4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论； （3）由题意先根据直线y=12x+3，当x=0和y=0计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线y=12x+3相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【详解】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）． ∴AP ＝BP 22(20)(11)--+--2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝2，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣2，0），k2（1﹣2，0），k3（2﹣1，0），k4（1+2，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣2≤x k≤1﹣2或2﹣1≤x k≤1+2；（3）分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH5，∴OE＝65，Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，∴2221(65)a a =+-， 解得：a ＝35222+（舍去）或35222-， ∴QG ＝2OE ＝2（6﹣5a ）＝﹣3+210， ∴m≤3﹣210；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝10， ∴10综上，m 的取值范围是m≤3﹣10或10． 【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M 为点P 与线段AB 的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.9．D解析：（1）见解析；（2）32332232【解析】 【分析】（1）由DF=2OD ，得到OF=3OD=3OC ，求得13OE OC OC OF ==，推出△COE ∽△FOE ，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x ，OC=3x ，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案； （3）连接BD ，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF ∽△BDM ，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积. 【详解】解：（1） ∵DF ＝2OD ， ∴OF ＝3OD ＝3OC ， ∴13OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ， ∴△COE ∽△FOE ， ∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°， ∴CF 是⊙O 的切线； （2）∵∠COD ＝∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ， ∵BC ＝8， ∴CE ＝4， ∵CE ⊥AD ， ∴OE 2+CE 2＝OC 2， ∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去）， ∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32； （3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点， ∴AO ：OF=BD ：DM=2， 又∵BD=DC ， ∴DM=CM ，∴FM 为中位线， ∴FM=322， ∴S △AOF : S △BDM =(32:26)2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯-=； ∴S △AOF =3424⨯=32； 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.10．A解析：（1）409t =；（2）QPBCM S 242721905t t =-+；（3）不存在，理由详见解析；（4）存在，11222196639t +=，21222196639t -=．【解析】 【分析】（1）如下图，根据Rt △ADH 求得AD 的长，在利用QP∥DB 得到t 的值； （2）先利用DOC BOA △∽△，得到AP 、BP 、DM ，然后用割补法求面积； （3）假设存在，使得PQM 的面积等于五边形面积的1115，验证t 的值是否在取值范围内；（4）如下图，分别在Rt △EMQ 和Rt △QFP 中求得QM 和QP 的长，令它们相等求得t. 【详解】（1）如下图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点H∵DC=8，AB=16，CB=6，∴AH=8，DH=6 ∴在Rt △DHA 中，226810AD =+= 设DQ t =则2AP t = ∴10AQ t =- ∵QP ∥DB。