极坐标与参数方程专题复习————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：试卷第8页，总6页极坐标与参数方程专题复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点总结1.直线的参数方程(1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离，(2)一般式⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 为参数)转化为标准式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 2202202.圆锥曲线的参数方程。
“1”的代换(1)圆()()222x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π(2)椭圆12222=+bya x cos sin x a yb θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)试卷第8页，总6页椭圆 12222=+by a y cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 3.极坐标(1)极坐标与直角坐标互换。
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩(2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ=二、例题示范题型一、坐标的互化。
（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。
1、点到点、点到直线距离的最值。
参数方程看做点带入距离公式。
2、点的轨迹方程。
参数方程看做点，同时使用跟踪点发。
例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为23sin ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.试卷第8页，总6页例2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(2,)4π，判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．试卷第8页，总6页例3．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
例4．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为10cos sin 2=+θρθρ，将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数），经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后得到曲线2C .（1）求曲线2C 的参数方程；（2）若点M 的曲线2C 上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值.题型三、直线参数方程的几何意义。
定标图号联、韦达三定理。
例5．已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=，以极点为平试卷第8页，总6页面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点(3,3)P ，倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．例6．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=．（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P 的极坐标2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．题型四、极坐标的几何意义。
点到原点的距离。
(直线必过原点) 例7．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22319x y -++=，以O 为试卷第8页，总6页极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线():6OP R πθρ=∈与圆C 交于点,M N ，求线段MN 的长．例8．选修4-4：坐标系与参数方程自极点O 任意作一条射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得12OM OP •=，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.参考答案1．试题解析：（1）由3,3.x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为3330x y --=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，2223x y y +=，即圆C 的直角坐标方程为()2233x y +-=.（2）()3,3P t t +，()0,3C ，()()222333412PC t t t =++-=+，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .2．试题分析：（1）可将直角坐标(1,1)P 代入曲线C 的普通方程得11132+<⇒P 在曲线C 内；（2）设点Q 的坐标为(3cos ,2sin )αα，从而点Q 到直线l 的距离为d |5cos()4|2αϕ++=（其中6tan 3ϕ=），⇒cos()1αϕ+=-时，d 取得最小值，且最小值为42102-． 试题解析：（1）把极坐标系下的点(2,)4P π化为直角坐标，得(1,1)P ，曲线C 的普通方程为22132x y +=，把P 代入得11132+<，所以P 在曲线C 内． （2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos ,2sin )αα，从而点Q 到直线l 的距离为|3cos 2sin 4|2d αα-+=|5cos()4|2αϕ++=（其中6tan 3ϕ=），由此得cos()1αϕ+=-时，d 取得最小值，且最小值为42102-． 3.【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα,(2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为2222cos (02)d x y ααπ=+=+<<，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.4．试题解析：（1）将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数）化为122=+y x ，由伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='21'31y y x x ，代入圆的方程得1)'21()'31(22=+y x ，即14)'(9)'(22=+y x ，可得参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 3y x （α为参数）. （2）曲线C 的极坐标方程10cos sin 2=+θρθρ，化为直角坐标方程：0102=-+x y ，点M 到C 的距离5555|10)sin(5|5|10sin 4cos 3|=≥--=-+=ϕθθθd ，∴点M 到C 的距离的最小值为5.5．试题分析：(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长||AB .试题解析：（1）曲线C 化为26cos 2sin 10ρρθρθ-++=，再化为直角坐标方程为226210x y x y +-++=，化为标准方程为22(3)(1)9x y -++=，直线l 的参数方程为3cos 33sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得24370t t ++=， 2(43)47200∆=-⨯=>，则1243t t +=-，127t t =， 所以2121212||||()425AB t t t t t t =-=+-=．6．试题解析：（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=， 化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=． （Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C 的参数方程为21,221,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得： 22222112130222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：2230t t +-=．设两根分别为12,t t ，由韦达定理知：12122,3,t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 所以AB 的长()2121212421214AB t t t t t t =-=+-=+=，定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==． 7．试题解析：（1）()()22319x y -+-=可化为2223250x y x y +-+-=，故其极坐标方程为223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=.……5分（2）将6πθ=代入223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，122ρρ∴+=，125ρρ=-.()2121212426MN ρρρρρρ∴=-=+-=.……10分 考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.8．试题解析：设(),P ρθ，()',M ρθ. 12OM OP •=，'12ρρ=.又'cos 3ρθ=，12cos 3θρ∴•=.则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=.………（5分）极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得24cos ρρθ=. 2240x y x ∴+-=. ………（10分）。