高一数学必修5综合练习
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1.若点(,3)P a 在23x y +<表示的区域内，则实数a 的取值范围是___________；0a <
2.在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC = 7∶8∶9，则cosA=______； 23
3.
已知数列 ，那么8是这个数列的第 项；11
4.若不等式220x ax a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的范围为 ；01a <<
5.设数列{}n a 的通项公式为227n a n =-+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当 n =_______时，n S 取得最大值；13
6.不等式212
x x -+<1的解集为____________；(2,3)- 7.在ABC ∆中，已知4,6,120,a b C ==∠= 则sinA 的值是_________
8.已知变量x y 、满足约束条件102020x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数z x y =+的最大值是__ _；5
9.数列{}n a 中，11a =，1223n n a a +-=，则通项n a = ；2log (31)n -
10.ABC ∆中，已知4,45a B =∠=︒，若解此三角形时有且只有唯一解，则b 的值应满 足_____ ___
；b =b ≥4
11.已知点(,)P x y 在经过两点(3,0),(1,1)A B 的直线上，那么24x y +的最小值是__
；12.已知数列{}n b 是首项为4-，公比为2的等比数列；又数列{}n a 满足160,a = 1n n n a a b +-=，则数列{}n a 的通项公式n a =_______________；1264n +-+
13.在4
别填上____________和．6，4
14.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个
等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形 ，
如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为
2
，则最小正方形的边长为 ； 132 二、解答题（共90分）
15.ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等差数列，SinA 、SinB 、SinC 成等比数列，试判断△ABC 的形状.
解：∵,,a b c 成等差数列，∴2
a c
b +=
①又∵sin ,sin ,sin A B C 成等比数列， ∴2sin sin sin B A C =⋅，∴2b ac = ②将①代入②得：2()2
a c ac +=，∴2()0a c -=， ∴a c =代入①得
b
c =,从而a b c ==，∴△ABC 是正△ 16.某村计划建造一个室内面积为72m 2的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则72ab =，蔬菜的种植面积 (4)(2)428802(2)s a b ab b a a b =--=--+=-+
≤28032()m -= 当且仅当max 2,12,632a b a b ====即时，S
17.设数列{}n a 的前n 项和为22,{}n n S n b =为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=． ⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． ⑵设n n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ． 解：⑴当1n =时，112a S ==；当n ≥2时，22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-，
故{}n a 的通项公式为42n a n =-，设{}n b 的通项公式为q ，则12b =，14q =，∴111124n n n b b q --==⨯，即1
24n n b -= ⑵∵11
42(21)44n n n n n a n c n b ---===-， ∴12112[13454(21)4]n n n T c c c n -=+++=+⨯+⨯++-
2214[143454(23)4(21)4]n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-
两式相减得：1231312(4444)(21)4n n n T n -=--+++++-= 1[(65)45]3n n -+ ∴1[(65)45]9
n n T n =-+ 18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()20f x x +>的解集为（1，3）． ⑴若方程()60f x a +=有两个相等实数根，求()f x 的解析式．
⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．
解：⑴由()20f x x +>解集为（1，3），∴()2(1)(3)f x x a x x +=--，且0a <，因而2()(24)3f x ax a x a =-++由方程()60f x a +=得2(24)90ax a x a -++=， 因为方程②有两个相等的实根，∴01a ∆=⇒=或15-
，而0a <，∴15a =- ∴2163()555
f x x x =--- ⑵由2()2(12)3,f x ax a x a =-++得∴2max 41()a a f x a
++=-
∴20,2410a a a a a <⎧⎪⇒<-⎨++->⎪⎩
或20a -<< 19.在ABC ∆中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2A C B +=，并且
2sin sin cos A C B ⋅=，三角形的面积ABC S
∆=，求三边,,a b c ．
解：∵2A C B +=∴60B =︒，所以21sin sin cos 604
A C =︒= ①
又1sin 2
ABC S ac B ∆==，得16ac = ② 22sin sin sin 1sin ()()64A C A C ac a c ===，所以sin sin 18
A C a c ==
由sin 8sin 8sin 60sin a B b B A ===︒=2221cos 22
a c
b B a
c +-==， 222a c b +-=222,()3,()484896ac a c b ac a c +-=+=+=
,a c +=③
与②联立，得a c ==
，或a c ==
20．已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=⋅a a a a ，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）通过c
n S b n n +=构造一个新的数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等差数列；
（3）对于21-=c 求*)()2005()(1N n b n b n f n n ∈⋅+=+的最大值． 解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ， ∴3449
5144514453232324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n ． （2）()⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-+=2122341n n n n S n ， c n S b n n +=c
n n n +⎪⎭⎫
⎝⎛-=212，令21-=c ，即得n b n 2=， 数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数21-=c ，使{}n b 也为等差数列． （3）()()2006
20052120062005112005)2005()(1+<++=++=⋅+=+n
n n n n b n b n f n n ， ∵
11200520052005110(44)(45)44454445f f -=--=->⨯， 即110(44)(45)
f f >>，(45)(44)f f ∴>， ∴45=n 时，()n f 有最大值18860946205045=⨯．。