无限大均匀带电平面：E
n
0
20
⒏静电场的环路定理： E dl 0 L
⒐电势
B
⑴电势差： U A U B
E dl
A
⑵电势：选择 则有
UC
0
C
UA
E dl
A
⑶电势叠加原理
U Ui
⑷电势计算方法 ①已知场强分布——积分 ②已知各部分电荷产生的电势——叠加
⑸典型电场的电势 ①点电荷 (U=0)
U q 4 0r
②均匀带电球面 (U=0)
Q
U
(r
)
4 Q
0
R
10.电势能
4 0r
(r R) (r R)
⑴电场力是保守力
⑵电场力的功：Aab q(Ua Ub )
⑶电势能： W qU
11.等势面
*12.场强与电势梯度的关系：E U
EXERCISES
⒈ 高斯定理的适用范围是 (A)任何静电场． (B)任何电场． (C)具有球对称、轴对称和平面对称的静 电场. (D)虽然不具有上述对称性但可以找到合 适高斯面的静电场．
荷分布就变为=0cos，结果
应为
E
0
j
4 0 R
8. 当带电量为q的粒子在场强分布为E 的静
电场中从a点到b点作有限位移时,电场力
对该粒子所做功的计算式为A=
.
解： A
b F dl
b qE dl
a
a
9.
E
M
N
答：(C)正确
某电场的电力线分布情况如图 所示,一负电荷从M点移到N点, 则下列说法中哪一个是正确的? (A)电场强度EMEN (B)电势UMUN (C)电势能WMWN (D)电场力的功A0
q内
S
0
பைடு நூலகம்
⒎场强计算方法
⑴一般电荷分布：点电荷场强＋场强叠加原理
e.g. 均匀带电直线段
均匀带电圆环
⑵高对称电荷分布：高斯定理
e.g. 均匀带电球面：
E
0
Q
4 0r 2
r
0
(r R) (r R)
无限长均匀带电直线：E
r 0
2 0r
无限长均匀带电圆柱面：
E
0
2
0r
r
0
(r R) (r R)
解：该电荷分布可视为由一系列垂直于X轴的
无限大均匀带电薄板构成,各薄板的电荷
密度由薄板位置决定.
场强分布特点: E E(x)i
E(0) 0
Y x
高斯面S：底面积为A的闭 合圆柱面,其轴线平行于X
O A X 轴,一端在YOZ平面内.
ZS
则有 E dS E dS E(x)A
S
右底
q内 1
－d电荷的贡献：
dEx
(0
cos ) Rd 4 0R2
cos
于是
0 cos2 d
4 0R
Ex
dEx
4( 0 ) /2 cos2 d 4 0R 0
0
4 0 R
O点处的场强：
E
Exi
0 4 0 R
i
[思考] 若=0sin，结果？ Hint：sin=cos(-/2)=cos
将坐标系逆时针旋转/2，电
理由：UMUN -qUM-qUN WMWN
[10.]
O
无限大均匀带电平面附近的电势( 平面处U=0)
设面电荷密度为
P x
X
对称性平面两侧电势 分布对称
x>0： U
O E dl E
O dl
i (xi )
x
P
P 20
2 0
任意x： U (x) x
20
11.设电荷体密度沿X轴方向按余弦规律 =0cosx分布在整个空间,式中为电荷体 密度,0为其幅值.试求空间的场强分布.
如图,均匀带电圆环半径为R,环
L
的最高点系一绝缘轻绳,绳的另
一端系一质量为m的小球.当圆环
x
和小球分别带有正电荷Q时，小
球的平衡位置恰好在圆环的轴线
上．求绳长L.
解：小球受力如图
小球所受电场力大小:
F QE
Qx
Q 4 0L2 L
Q2x
4 0L3
平衡时电场力与重力的合力应沿着绳长方 向,有
E dS
S
q / 60
⒋ E
E1/r
OR
r
答案：(C)
图示为一轴对称性静电场的E ～r关系曲线，请指出该电场 是由哪种带电体产生的： (A)无限长均匀带电直线 (B)无限长均匀带电圆柱体 (C)无限长均匀带电圆柱面 (D)有限长均匀带电圆柱面
理由：
E
0
2 0r
(r R) (r R)
⒌
x
Adx
0 A sin x
0 0 0
0
由高斯定理得 E(x) 0 sin x 0
由对称性知，这个结果也适用于x0的区
域，因此对整个空间有：
E
E(x)i
0
sin
xi
0
[思考] 若=0sinx,结果?
Hint：利用坐标平移可得
E
0
cos
xi
0
⒓
在两个无限长同轴均匀带电圆
筒间，有一质量为m、电量为
mg R Fx
于是 L ( Q2R )1/3
4 0mg
⒍ 半径为R的带有一缺口的细圆环,缺口长
度为d(dR),环上均匀带正电,总电量为
q.则圆心处的场强大小E=
,场
强方向为
.
解： R
将缺口视为带有等量异号 电荷的圆弧,其电量为
q q d
2 R d
qd
2 R
电荷分布＝均匀带正电的圆环＋带负电 的圆弧
Chap. SUMMARY
⒈电荷的性质 ⒉两个基本的实验定律
⑴库仑定律
F
q1q2
r
0
4 0r 2
(0=8.8510-12 C2/Nm2)
⑵电力叠加原理 F Fi
⒊电场强度
⑴定义： E F / q0
⑵场强叠加原理：E Ei
⒋电场线
⒌电通量： e
⒍高斯定理：
E
E dS S dS
因此圆心处的场强，实际上就是带负电 的圆弧所产生的场强，其大小为
E
q 4 0 R2
qd 820 R3
场强方向：指向缺口
⒎Y d O
如图,带电圆环半径为R,电 荷线密度为=0cos,式中 X 0为一常数.试求环心O点 处的电场强度.
解：由cos的性质知，O点处合场强方向应指 向X轴负向，且位于各象限的电荷对O点 处合场强的贡献相同．
e(e0)的粒子作半径为r的圆
周运动，设内筒半径为R1，电 势为-U，外筒半径为R2，电势 为U，求粒子的速率v.
解：两筒电势差内筒电荷线密度粒子所 在处场强电场力向心力v
设内筒轴线方向单位长度带电荷
则
(U ) U
R2
E
dr
R2
dr
R1
R1 2 0r
ln R2 2 0 R1
粒子所在处场强大小：
答案：(B)
⒉ 由高斯定理和环路定理说明静电场的基本 性质
答：高斯定理表明：静电场是有源场． 环路定理表明：静电场是保守场．
⒊ 在边长为a的正方形平面的中垂线上,距离
平面a/2处,有一电量为q的正点电荷,则通
过该平面的电场强度通量e=
.
解： a
a/2
a
q
如图，可设想q在一立方
体中心，所以
e
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