上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。

2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。

3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。

4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。

6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。

7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。

8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。

9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。

（结果用反三角表示）。

10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。

11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。

12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。

其中正确命题的序号为_____________。

二、选择题（每题3分）13、 若A ，B 为锐角三角形ABC 的两个内角，则点P(sinA -cosB ，cosA -sinB)位于( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限 14、函数()f x =()(A) R(B) [2k π，2k π+2π]（k ∈Z ） (C) [2k π-2π，2k π]（k ∈Z ）(D) [2k π-2π，2k π+2π]（k ∈Z ）15、 函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图像( )(A) .向左平移3π单位(B) 向右平移6π单位(C) 向左平移56π单位(D) 向右平移56π单位16、 下面等式中不成立的是( )(A) cos ||cos()x x =- (B) arccos arccos()x x π+-=(C)sin(arcsin )33ππ=(D) arcsin ||x =17、 函数()cos tan f x x x =⋅在区间(2π，32π)上的图象为()(A) (B) (C)(D)三、解答题18、 （本题满分10分）定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a -。

若1cos 02sin A A-=-。

（1）求tanA 的值；（2）求函数()cos2tan sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域。

19、 (本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b A a B c C +=，△ABC 的面积为（1）求角C 的大小； （2）若a=2，求边长c 。

20、 （本题满分12分）已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间t （0≤t ≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数y=f(t)可近似地看成是函数。

（1）根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 及函数表达式（其中A>0，ω>0）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？21、 （本题满分15分）设函数f(x)的定义域D 关于原点对称，0∈D ，且存在常数a>0，使f(a)=1，又121212()()()1()()f x f x f x x f x f x --=+，（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数T ，使得等式f(x)=f(x +T)或者f(x)=f(x -T)对于x ∈D 都成立，则都称f(x)是周期函数，T 为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T ；若不是，则说明理由。

上海交通大学附属中学2008-2009学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案（满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上） 一、填空题（每题3分）1、24252、 2π3、 二、三4、 4cm 25、 {x ∣x=k π+2π，k ∈Z}6、 327、 137 8、34π9、解：设顶角为A ，∴cosB=23，∴sinB=，∴cosA=-cos2B=sin 2B-cos 2A=19，∴A=arccos 19。

（如果用sinA=sin2B=2sinBcosB=，还须判断A 是否为钝角，方能得出A=）。

10、 -7 11、解：∵△=(2m -3)2-4m(m-2)=-4m+9≥0，∴m ≤94，∴tan(α+β)=23323232(2)241m m m m m m m m ----==-----≤。

12、 ①③⑤二、选择题（每题3分）13、 解：∵A ，B 为锐角三角形的两个内角，∴A+B>2π，∴2π>A>2π-B>0，∴sinA>sin(2π-B)=cosB ，∴sinA -cosB>0，同理可得cosA -sinB<0，∴选(D)14、 解：选(D) 15、 解：B 16、 解：选(C)17、 解：在区间(2π，32π)上cosx<0，∴函数f(x)恒负，∴选(C)三、解答题18、 （本题满分10分）解：（1）由1cos 02sin AA -=-，得sinA -2cosA=0，∵cosA ≠0，∴tanA=2。

……4分（2）213()cos22sin 2(sin )22f x x x x =+=--+， ∵x ∈R ，∴sinx ∈[-1，1]，当1sin 2x =时，f(x)有最大值32；当sinx=-1，f(x)有最小值-3。

所以，值域为[-3，32]。

……6分19、 (本题满分12分)解：（1）∵cos cos 2cos b A a B c C +=，①由正弦定理2sin b R B =，2sin a R A =，2sin c R C =，②……2分将②式代入①式，得2sin cos 2sin cos 4sin cos R B A R A B R C C +=， 化简，得sin()sin 2sin cos A B C C C +==。

……5分∵sinC ≠0，∴1cos 2C =，∴3C π=。

……7分（2）∵△ABC 的面积为，∴1sin 2ab C =ab=16。

又∵a=2，∴b=8。

……10分由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=22+82-2·2·8·12=52，∴c =……12分20、 （本题满分12分）（1）T=12，1cos()126y t π=+。

……4分（2）13cos()1264t π+≥，1cos()62t π-≥， ……6分∴2222363k t k πππππ-+≤≤（k ∈Z ）即124124k t k -+≤≤（k ∈Z ）， ……10分由7≤t ≤19，得8≤t ≤16，知该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放。

……12分21、 （本题满分15分）解：（1）取f(x)=tanx ，定义域为{x ∣x ≠k π+2π，k ∈Z}关于原点对称，且0∈D ；且存在常数4a π=使得f(a)=tana=1；又由两角差的正切公式知，符合121212()()()1()()f x f x f x x f x f x --=+。

……4分（2）f(x)是D 上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x 1=0，x 2=x ，由(0)()(0)1(0)()f f x f x f f x --=+，得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D 上的奇函数；……4分（3）考察f(x)=tanx 的最小正周期T=π=4a ，可猜测4a 是f(x)的一个周期。

证明：由已知()()()1()1()()1()f x f a f x f x a f x f a f x ---==++，则()1()1()11(2)[()][1][1]1()1()1()()f x a f x f x f x a f x a a f x a f x f x f x -----=--==-÷+=-+-++，1(4)[(2)2]()2f x a f x a a f x f x a -=-=-=--（）。

所以f(x)是周期函数，4a 是f(x)的一个周期。

……7分。